چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
45 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط MK90
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

نشان دهید اگر $T$ یک قاطع راست نسبت به یک زیرگروه باشد آنگاه $ T^{-1} $ یک قاطع چپ است.

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
منظورتان از واژهٔ «قاطع» چه است؟
دارای دیدگاه توسط MK90
+2
transversal

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط MK90
 
بهترین پاسخ

یک گروه G و یک زیرگروه H از آن را در نظر بگیرید. یک زیرمجموعه از G مانند H مانند T را یک قاطع (قطع‌کننده، برش‌دهنده) راست از H در G گوئیم هر گاه برای هر هم‌دستهٔ راست از H، اشتراک T با آن دقیقا دارای یک عضو شود.

پس به زبان نمادها داریم؛ $$\begin{array}{l}\forall g\in G\quad|gH\cap T|=1\\ \Longleftrightarrow\forall g\in G\quad\exists! x\in gH\cap T \end{array}$$ برای اینکه نشان دهیم $T^{-1}$ یعنی مجموعهٔ شامل وارون عناصر داخل مجموعهٔ $T$ یک برش‌دهندهٔ چپ از $H$ در G است باید برای هر $g\in G$ نشان دهیم دقیقا یک عضو داخل $Hg\cap T^{-1}$ است. توجه کنید که اگر یک عضو داخل $Hg$ باشد معادل با این است که وارونش داخل $g^{-1}H$ باشد. زیرا

$x\in Hg$ یعنی عضو h ای داخل H بوده‌است که $x=hg$. اکنون وارون بگیرید. $x^{-1}=(hg)^{-1}=g^{-1}h^{-1}$. چون H زیرگروه است پس نسبت به وارون بسته است پس $h^{-1}\in H$ و در نتیجه $x^{-1}\in g^{-1}H$. برعکس فرض کنید $x\in g^{-1}H$، پس h ای در H بوده‌است که $x=g^{-1}h$، دوباره وارون‌گیری انجام می‌دهیم. $x^{-1}=(g^{-1}h)^{-1}=h^{-1}(g^{-1})^{-1}=h^{-1}g$ و به دلیل مشابه پیشین $x^{-1}\in Hg$.

اکنون یک عضو از G مانند g ثابت بردارید. از رابطهٔ بالای صفحه برای همدستهٔ $g^{-1}H$ داریم؛ $$\exists!x\in g^{-1}H\cap T$$ اکنون وارون این x در $Hg$ و همینطور $T^{-1}$ می‌افتد. برای یکتایی توجه کنید که اگر عضو دیگری در $Hg\cap T^{-1}$ بیفتد، با روش مشابه وارون آن عضو در $g^{-1}H\cap(T^{-1})^{-1}=g^{-1}H\cap T$ می‌افتد و چون تنها عنصر در این اشتراک x است پس وارون آن عنصر با x و خودش با وارون x برابر می‌شود که همان عضوی بود که یافته‌بودیم. پس چون برای یک همدستهٔ چپ دلخواه $Hg$ نشان دادیم اشتراک آن با $T^{-1}$ دقیقاً یک عنصر دارد، $T^{-1}$ یک برش‌دهندهٔ چپ از H در G است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
113 نفر آنلاین
0 عضو و 113 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2402
بازدید دیروز: 12337
بازدید کل: 4533557
...