چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
95 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط kazomano
ویرایش شده توسط kazomano

فرض کنیم که $d \in [0,1]$و $ \frac{1}{3} \leq \mid m \mid \leq 3$ نشان دهید که وجود دارد $x,y \in C$ به طوری که $y-mx=d$.که C مجموعه کانتور است.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

اگر $C$ مجموعه کانتور باشد(که از حذف متوالی بازه های یک سومی میانی به دست آمده است) در اینصورت می توان نشان داد: $$C-C=[-1, 1]$$


روش های متفاوتی برای دیدن این مطلب هست.

در اینجا یک روش که در کتاب Counterexamples in analysis اومده می نویسم:

مجموعه ی $C\times C$ را در نظر بگیرید در اینصورتکافی است نشان دهیم برای هر $\alpha\in [-1, 1]$ خط $y=x+\alpha$ مجموعه ی $C\times C$ را قطع می کند.

cantor\times cantor (عکس از کتاب بالا گرفته شده)

چون $C=\cap_1^\infty C_n$ برای هر $n$ واضح است که خط $y=x+\alpha$ یکی از چهار مربع تشکیل شده توسط $$C_1\times C_1=[0,\frac 13]\times [0,\frac 13] \cup [0,\frac 13]\times [\frac 23, 1]\cup [\frac 23, 1]\times [0,\frac 13]\cup [\frac 23, 1]\times [\frac 23]\times [\frac 23, 1]$$ را قطع می کند.

فرض کنید یکی از این 4 مربع را که خط قطع می کند با $S_1$ نمایش دهیم. با استدلال مشابه این خط یکی از چهار مربع موجود در چهار گوشه ی مربع $S_1$ را قطع می کند که آن را با $S_2$ نمایش می دهیم اگر همین روند را دنبال کنیم به دنباله ای از مجموعه های $S_n$ می رسیم که فشرده هستند(مربع هستند) و $S_n\supset S_{n+1}$ پس بنابر قضیه اشتراکی کانتور اشتراک آنها برابر یک نقطه $(x_0, y_0)$ خواهد بود که متعلق به همه مربعها هست و در معادله $y=x+\alpha$ صدق می کند یعنی $y_0-x_0=\alpha$ و حکم ثابت است.

دارای دیدگاه توسط kazomano
اینجاست که میگن سوال رو با سوال جواب داد
دارای دیدگاه توسط fardina
@kazomano
شما تلاشتونو برای حل ننوشتین.
این سوالو میشه با بسط سه سه ای کانتور هم حل کرد:
http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/cantor3.shtml
من یک روش برای سوال قبلیتون نوشتم. که همین روش رو میتونید به این سوالتون تعمیم بدید. شرط $\frac 13\leq |m|\leq 3$ تضمین میکنه که خط $y=mx+\alpha$ یکی از اون مربعها رو قطع میکنه.
لطفا دیدگاه بگذارید اگر در جایی ایرادی بود.
دارای دیدگاه توسط fardina
البته توجه کنید قضیه اشتراکی کانتور میگه که اشتراکشون ناتهیه. ولی در فضاهای کامل چنانچه $\lim diam(C_n)=0$ آنگاه اشتراکشون حتما یک نقطه است.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
35 نفر آنلاین
0 عضو و 35 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 636
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4695676
...