به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
126 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط fardina

اگر $\alpha$ گنگ باشد ثابت کنید $\mathbb Z+\alpha\mathbb Z$ بسته نیست.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

در واقع علت بسته نبودن آن این است که نه تنها نقطهٔ حدی خارج از خودش دارد بلکه در کل اعداد حقیقی چگال است. اثبات آن نیز به این خاط است که

حقیقت یک: این مجموعه یک زیرگروه از گروه اعداد حقیقی با عمل جمع است.

حقیقت دو: می‌توان عضوی از این مجموعه به هر اندازهٔ دلخواه نزدیک به صفر یافت.

حقیقت سه: هر زیرگروه جمعی از اعداد حقیقی یا چگال است یا اینفیمم اعضای مثبتش (صفر مثبت نیست) مخالف صفر می‌شود.

اثبات ادعاها:

ادعای یک: چون این مجموعه زیرمجموعه‌ای ناتهی از اعداد حقیقی است (برای نمونه $0+0\alpha=0\in\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\alpha$ ) پس می‌توان از محک زیرگروه بودن استفاده کرد. $$(a_1+b_1\alpha)-(a_2+b_2\alpha)=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)\alpha$$

ادعای دو: اینفیمم اعضای مثبت این مجموعهٔ جدید را $x$ بنامید. ثابت می‌کنیم که $x=0$.

فرض کنید x مخالف صفر باشد. پس هیچ عضوی از این مجموعه در $(0,x)$ قرار ندارد. با کمک ویژگی اینفیمم به ازای هر $\epsilon>0$ عضوی از $B$ هست مانند $y$ که $x\leq y<x+\epsilon$. اگر x عضو این مجموعه نباشد می‌توان نامساوی سمت چپ را اکید گرفت. بفرض اینگونه باشد. اکنون $\epsilon$ را کوچکتر از $x$ بگیرید برای نمونه $\frac{x}{2}$ و یک عضو مانند $y$ که فاصله‌اش از $x$ کمتر از $\epsilon$ باشد از این مجموعه بردارید. یک بار دیگر $\epsilon$ را کمتر از فاصله بین $x$ و $y$ بگیرید و عضو دیگری به همان روش انخاب کنید و $y'$ بنامید. پس $$x<y'<y<x+\frac{x}{2}$$ اما از این می‌توان نتیجه گرفت که $$0< y-y'<\frac{x}{2}<x$$ از طرفی در قسمت یکم دیدیم این مجموعه یک زیرگروه جمعی است پس $y-y'$ عضوی از این مجموعه است. چون هیچ عضوی از این مجموعه به طور اکید بین صفر و x نیست به تناقض برخورده‌ایم پس باید x عضو مجموعه‌مان باشد.

اینک یک عضو مثبت دلخواه از این مجموعه را بردارید و $z$ بنامید. از ویژگی‌های جزء صحیح داریم $$[\frac{z}{x}]x\leq z<([\frac{z}{x}]+1)x$$ پس $$0\leq z-[\frac{z}{x}]x<x$$ اما دوباره چون هیچ عضوی اکید بین صفر و x از این مجموعه نداریم و از گروه بودن این مجموعه $z-[\frac{z}{x}]x$ درون این مجموعه می‌افتد باید برابر صفر شود ولی این به این معناست که تمامی عناصر مثبت این مجموعه ضریب صحیحی از یک عضو می‌شوند که نادرست است. در واقع این گروه، گروه دوری آزاد تولید شده با ${1,\alpha}$ است، بنابراین نمی‌تواند با یک عنصر تولید شود. پس به تناقض برخورده‌ایم و بیاد $x=0$.

ادعای سوم: اگر اینفیمم صفر نباشد که از گام پیشین می‌توانید ببینید چرا باید گروهمان دوری شود. پس به سراغ حالتی می‌رویم که اینفیمم صفر شده‌است.

چون اینفیمم اعضای مثبت صفر است پس برای هر $\epsilon>0$ می‌توان عضوی مانند u از این مجموعه یافت که $0<u<\epsilon$. چون مجموعهٔ ${...,-3u,-2u,-u,0,u,2u,3u,...}$ از بالا و پائین بی‌کران است برای هر عدد حقیقی r می‌توان عدد طبیعی‌ای یافت که $nu\leq r<(n+1)u$ زمانیکه r مثبت است و یا $-(n+1)u<r\leq -nu$ پس $$|r-nu|<u<\epsilon$$ اما می‌توان $\epsilon$ را کوچک و کوچکتر کرد و دنباله‌ای از $nu$ ها که $u$ و $n$ وابسته به $\epsilon$ اند یافت که چون مجموعه‌مان گروه است $nu$ ها نیز درونش قرار دارند. پس برای هر عدد حقیقی دلخواه توانستیم دنباله‌ای از اعضای مجموعه‌مان بیابیم که به آن میل کند.


تکمیل پاسخ

در بالا نشان دادیم که بستار این مجموعه با متریک معمولی، کل اعداد حقیقی می‌شود اما ممکن است فردی بپرسد که «آیا این مجموعه خودش برابر کل اعداد حقیقی نمی‌شود؟» اگر این رویداد رخ دهد آنگاه این مجموعه بسته می‌شود. ساده‌ترین روش برای رد این رویداد این است که توجه کنیم که این مجموعه در تناظر دوسویی با مجموعهٔ $\mathbb{Z}^2$ است که شماراست در حالیکه مجموعهٔ اعداد حقیقی ناشماراست. پس این مجموعه نمی‌تواند کل اعداد حقیقی باشد.

دارای دیدگاه توسط vali
+1
اثبات‌تون عالی بود. اگه امکان داره منبع در این زمینه هم ارايه بدین. هر چند در ریاضیات ما هر اثباتی رو به خود شخص هم نسبت می‌دهیم، اما برای مطالعه بیشتر می‌خواستم. در ضمن آیا
$\alpha\mathbb Z$ برای $\alpha$ (عدد گنگ) نیز بسته نخواهد شد؟ آیا امکان دارد بفرمایید بستار آن در توپولوژی اقلیدسی چه مجموعه‌ای خواهد شد؟
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@vali اثبات بالا اثبات بدیع و نویی نیست که برای نمونه در ماهنامهٔ انجمن ریاضی آمریکا به چاپش برسانیم و آن را اثبات امیرحسین برای بسته نبودن مجموعهٔ یادشده بخوانیم ^_^
منبع خاصی به ذهنم نمی‌رسد، در درس آنالیز ریاضی یک این مطلب در فصل متریک بررسی می‌شود هر چند از دید نظریهٔ اعداد نیز جذابیت خودش را در رده‌بندی مجموعه‌های اعداد دارد. پیرامون $\alpha\mathbb{Z}$، که $\alpha\neq 0$ شما یک مجموعهٔ گسسته دارید به این معنی که فاصلهٔ هیچ دو عضو از آنرا در متریک اقلیدسی نمی‌توانید به اندازهٔ دلخواهتان کم کنید زیرا کمینهٔ فاصلهٔ دو عنصر  از این مجموعه در این متریک $\alpha$ می‌شود پس هیچ نقطهٔ حدی به غیر از عناصر خودش نیز ندارد و در نتیجه بسته است. واژهٔ «مجموعهٔ گسسته» را نیز اینگونه می‌توانید بپذیرید که چون توپولوژی زیرفضایی از توپولوژی اقلیدسی $\mathbb{R}$، برای این مجموعه با توپولوژی گسسته‌اش یکی می‌شود آن‌را زیرمجموعه‌ای گسسته صدا زدم.

در حالت $\alpha=0$ نیز که تک‌نقطه‌ای صفر را دارید که دیگر بیش‌از حد بدیهی است ^_^
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...