به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
264 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط کیوان عباس زاده

فرض کنید $A$ یک ماتریس مربعی است با درایه های $0 , 1$ به طوری که درایه های روی قطر اصلی آن همگی $1$ هستند . فرض کنید $ \mid A \mid $ تعداد $1$ های ماتریس $A$ است . ثابت کنید : $$ rank(A) \geq \frac{n^2}{ \mid A \mid }$$

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط کیوان عباس زاده

ابتدا به چند قضیه زیر توجه نمایید :

قضیه ۱: فرض کنید $A$ یک ماتریس مربعی است . رتبه ماتریس $A$ برابر است با تعداد مقادیر ویژه ناصفر $A$ .

قضیه ۲ : اگر $A$ یک ماتریس مربعی باشد و $ \lambda _{1}, \lambda _{2},..., \lambda _{k}$ مقادیر ویژه متمایز $A$ هستند در این صورت : $$tr(A)= \lambda _{1}+\lambda _{2}+...+ \lambda _{k}$$ ( منظور از $tr(A)$ اثر ماتریس $A$ یعنی جمع درایه های قطری $A$ است )

قضیه ۳ : اگر $A=(a_{i,j})_{n \times n}$ یک ماترس مربعی باشد آنگاه : $$ tr(AA^{T})= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}a_{i,j}^2 $$

قضیه 4 : اگر $ \lambda $ مقدار ویژه $A$ باشد آنگاه $ \lambda ^2$ مقدار ویژه $A^2$ است .

قضیه5 (نامساوی کوشی شوارتز) : فرض کنید $a_{1},a_{2},...,a_{k}$ و $ b_{1},b_{2},...,b_{k} $ اعداد حقیقی مثبت هستند در این صورت : $$( \sum_{i=1}^{k} a_{i}b_{i} )^2 \leq ( \sum_{i=1}^{k} a_{i}^2 )(\sum_{i=1}^{k} b_{i}^2)$$

حال مسئله را حل می کنیم :

فرض کنید $A$ یک ماتریس متقارن صفر و یک است به طوری که درایه های قطر اصلی آن $1$ هستند . فرض کنید $ \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k}$ مقادیر ویژه ناصفر $A$ هستند پس طبق قضیه $1$ داریم : $$rank(A)=k\ \ \ \ \ \ \ ( \star )$$ چون درایه های قطر اصلی $A$ همگی $1$ هستند پس $tr(A)= {1+1+...+1} =n$ از طرفی طبق قضیه $2$ داریم : $$tr(A)=\lambda _{1}+\lambda _{2}+...+ \lambda _{k}$$ پس : $$n=\lambda _{1}+\lambda _{2}+...+ \lambda _{k}\ \ \ \ \ \ ( \star \star )$$ طبق قضیه $3$ داریم $ tr(AA^{T}) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i,j}^2 $ . از طرفی چون درایه های ماتریس $A$ صفر و یک هستند پس : $$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i,j}^2=|A| $$ بنابراین $ tr(AA^{T})=|A| $ . چون $A$ ماتریس متقارن است پس $A^{T}=A$ در نتیجه $tr(A^2)=|A|$. طبق قضیه $ 4 $ مقادیر ویژه $A^2$ عبارتند از $ \lambda _{1}^2,\lambda _{2}^2,...,\lambda _{k}^2 $ . حال طبق قضیه $2$ داریم : $$tr(A^2)= \lambda _{1}^2+\lambda _{2}^2+...+\lambda _{k}^2$$ پس : $$\lambda _{1}^2+\lambda _{2}^2+...+\lambda _{k}^2=|A|\ \ \ \ \ \ \ ( \star \star \star )$$ حال در قضیه $5$ قرار دهیم : $$a_{1}=a_{2}=...=a_{k}=1$$ $$b_{1}= \lambda _{1},b_{2}= \lambda _{2},...,a_{k}= \lambda _{k}$$ داریم : $$( \sum_{i=1}^{k} \lambda _{i} )^2 \leq ( \sum_{i=1}^{k} 1^2 )(\sum_{i=1}^{k} \lambda _{i}^2)$$ $$ \Rightarrow( \sum_{i=1}^{k} \lambda _{i} )^2 \leq k(\sum_{i=1}^{k} \lambda _{i}^2) $$ $$ \Rightarrow \frac{ (\sum_{i=1}^{k} \lambda _{i})^2 }{\sum_{i=1}^{k} \lambda _{i}^2} \leq k $$ حال روابط $( \star ),( \star \star ),( \star \star \star )$ را در نامساوی بالا جاگذاری می کنیم داریم : $$\frac{n^2}{|A|} \leq rank(A)$$

دارای دیدگاه توسط kazomano
ویرایش شده توسط kazomano
اگه امکانش هست قضیه 1 رو ثابت کنید یا رفرنس بدید کجا اثباتش موجوده.
چونکه مثلا ماتریس2*2 که سطر اول (1و0)و سطر دوم (0و0) قضیه رو نقض میکنه.
باید میگفتی ماتریس متقارنه یا قطری شدنی
دارای دیدگاه توسط کیوان عباس زاده
بله درسته باید متقارن باشد . ممنون.
دارای دیدگاه توسط kazomano
یه سوال.ماتریس صورت سوال چه طوری متقارنه؟
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
38 نفر آنلاین
0 عضو و 38 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1571
بازدید دیروز: 6343
بازدید کل: 5025805
...