چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
251 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط کیوان عباس زاده

فرض کنید $A$ یک ماتریس مربعی است با درایه های $0 , 1$ به طوری که درایه های روی قطر اصلی آن همگی $1$ هستند . فرض کنید $ \mid A \mid $ تعداد $1$ های ماتریس $A$ است . ثابت کنید : $$ rank(A) \geq \frac{n^2}{ \mid A \mid }$$

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط کیوان عباس زاده

ابتدا به چند قضیه زیر توجه نمایید :

قضیه ۱: فرض کنید $A$ یک ماتریس مربعی است . رتبه ماتریس $A$ برابر است با تعداد مقادیر ویژه ناصفر $A$ .

قضیه ۲ : اگر $A$ یک ماتریس مربعی باشد و $ \lambda _{1}, \lambda _{2},..., \lambda _{k}$ مقادیر ویژه متمایز $A$ هستند در این صورت : $$tr(A)= \lambda _{1}+\lambda _{2}+...+ \lambda _{k}$$ ( منظور از $tr(A)$ اثر ماتریس $A$ یعنی جمع درایه های قطری $A$ است )

قضیه ۳ : اگر $A=(a_{i,j})_{n \times n}$ یک ماترس مربعی باشد آنگاه : $$ tr(AA^{T})= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}a_{i,j}^2 $$

قضیه 4 : اگر $ \lambda $ مقدار ویژه $A$ باشد آنگاه $ \lambda ^2$ مقدار ویژه $A^2$ است .

قضیه5 (نامساوی کوشی شوارتز) : فرض کنید $a_{1},a_{2},...,a_{k}$ و $ b_{1},b_{2},...,b_{k} $ اعداد حقیقی مثبت هستند در این صورت : $$( \sum_{i=1}^{k} a_{i}b_{i} )^2 \leq ( \sum_{i=1}^{k} a_{i}^2 )(\sum_{i=1}^{k} b_{i}^2)$$

حال مسئله را حل می کنیم :

فرض کنید $A$ یک ماتریس متقارن صفر و یک است به طوری که درایه های قطر اصلی آن $1$ هستند . فرض کنید $ \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k}$ مقادیر ویژه ناصفر $A$ هستند پس طبق قضیه $1$ داریم : $$rank(A)=k\ \ \ \ \ \ \ ( \star )$$ چون درایه های قطر اصلی $A$ همگی $1$ هستند پس $tr(A)= {1+1+...+1} =n$ از طرفی طبق قضیه $2$ داریم : $$tr(A)=\lambda _{1}+\lambda _{2}+...+ \lambda _{k}$$ پس : $$n=\lambda _{1}+\lambda _{2}+...+ \lambda _{k}\ \ \ \ \ \ ( \star \star )$$ طبق قضیه $3$ داریم $ tr(AA^{T}) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i,j}^2 $ . از طرفی چون درایه های ماتریس $A$ صفر و یک هستند پس : $$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i,j}^2=|A| $$ بنابراین $ tr(AA^{T})=|A| $ . چون $A$ ماتریس متقارن است پس $A^{T}=A$ در نتیجه $tr(A^2)=|A|$. طبق قضیه $ 4 $ مقادیر ویژه $A^2$ عبارتند از $ \lambda _{1}^2,\lambda _{2}^2,...,\lambda _{k}^2 $ . حال طبق قضیه $2$ داریم : $$tr(A^2)= \lambda _{1}^2+\lambda _{2}^2+...+\lambda _{k}^2$$ پس : $$\lambda _{1}^2+\lambda _{2}^2+...+\lambda _{k}^2=|A|\ \ \ \ \ \ \ ( \star \star \star )$$ حال در قضیه $5$ قرار دهیم : $$a_{1}=a_{2}=...=a_{k}=1$$ $$b_{1}= \lambda _{1},b_{2}= \lambda _{2},...,a_{k}= \lambda _{k}$$ داریم : $$( \sum_{i=1}^{k} \lambda _{i} )^2 \leq ( \sum_{i=1}^{k} 1^2 )(\sum_{i=1}^{k} \lambda _{i}^2)$$ $$ \Rightarrow( \sum_{i=1}^{k} \lambda _{i} )^2 \leq k(\sum_{i=1}^{k} \lambda _{i}^2) $$ $$ \Rightarrow \frac{ (\sum_{i=1}^{k} \lambda _{i})^2 }{\sum_{i=1}^{k} \lambda _{i}^2} \leq k $$ حال روابط $( \star ),( \star \star ),( \star \star \star )$ را در نامساوی بالا جاگذاری می کنیم داریم : $$\frac{n^2}{|A|} \leq rank(A)$$

دارای دیدگاه توسط kazomano
ویرایش شده توسط kazomano
اگه امکانش هست قضیه 1 رو ثابت کنید یا رفرنس بدید کجا اثباتش موجوده.
چونکه مثلا ماتریس2*2 که سطر اول (1و0)و سطر دوم (0و0) قضیه رو نقض میکنه.
باید میگفتی ماتریس متقارنه یا قطری شدنی
دارای دیدگاه توسط کیوان عباس زاده
بله درسته باید متقارن باشد . ممنون.
دارای دیدگاه توسط kazomano
یه سوال.ماتریس صورت سوال چه طوری متقارنه؟
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
38 نفر آنلاین
0 عضو و 38 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 834
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709976
...