به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+4 امتیاز
330 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط rezasalmanian
برچسب گذاری دوباره توسط کیوان عباس زاده

تعداد مثلث ها در شبکه مثلثی که هر ضلع مثلث5 قسمت برابر می باشدچند است؟

دارای دیدگاه توسط rezasalmanian
ویرایش شده توسط admin
–2
دوستی از راه دیگر حل کرد

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط کیوان عباس زاده
ویرایش شده توسط کیوان عباس زاده

(توجه : دوستان عزیز و گرامی قبل از مطالعه راه حل توجه نمایید که این راه حل مختص بنده است و استفاده از آن در سایت , وبلاگ یا جای دیگری با اسم اینجانب قانونی و شرعی است . امیدوارم که برایتان مفید بوده و مورد استفاده شما قرار گیرد . با تشکر و همچنین آرزوی موفقیت و سربلندی برای شما )

فرض کنیم مثلث متساوی الاضلاعی به طول ضلع $n$ داریم که هر ضلع آن را به $n$ قسمت مساوی تقسیم کرده ایم سپس از هر یک از این نقاط دو پاره خط به موازات دو ضلع دیگر رسم می کنیم تا یک شبکه مثلثی ایجاد شود . به عنوان مثال برای $n=3 $ شکل حاصل به صورت زیر است : enter image description here حال سوال این است که در شبکه مثلثی که طول هر ضلع آن $n$ است چند مثلث وجود دارد ؟

حل : فرض کنیم شبکه مثلثی داریم که طول هر ضلع آن $n$ است . آنرا $ABC$ می نامیم . به طوری که ضلع $BC$ قاعده آن است . و $A$ راس بالایی آن می باشد . ابتدا تعداد مثلث هایی را می شماریم که قاعده آنها موازی $BC$ می باشد و راس آنها ( نوک مثلث ) به سمت بالاست . تعداد این مثلث ها را با نماد $ \Delta (n)$ نشان می دهیم . فرض کنیم مثلث $ABC$ به صورت زیر است : enter image description here

حال دو ضلع $AB$ و $AC$ را به اندازه یک واحد امتداد می دهیم تا به شکل زیر تبدیل شود : enter image description here

حال هر مثلث در شبکه مثلثی $ABC$ که قاعده آن موازی ضلع $BC$ است و راس آن به سمت بالاست با $3$ نقطه روی قاعده $B'C'$ متناظر است و بعکس . به این صورت که فرض کنید $XYZ$ مثلثی در شبکه مثلثی $ABC $ است که $YZ$ موازی $BC$ است و $X$ و $A$ در یک سمت $YZ$ هستند . حال از راس $Y$ خطی به موازات ضلع $AB$ رسم می کنیم تا پاره خط $B'C'$ را در نقطه ای قطع کند و آنرا $P$ می نامیم . سپس از راس $Z$ دو خط به موازات ضلع $ AC $ و ضلع $AB$رسم می کنیم تا پاره خط $B'C'$ را در دو نقطه قطع کنند و آن دو نقطه را $Q, R$ می نامیم . به شکل زیر توجه نمایید : enter image description here

پس نقاط $P,Q,R$ روی پاره خط $B'C'$ متناظر با مثلث $XYZ$ هستند . این یک تناظر یک به یک بین مثلث های شبکه مثلثی که قاعده آنها موازی ضلع $BC$ است و راس آنها به سمت بالاست و زیر مجموعه های $3$ عضوی از نقاط روی پاره خط $B'C'$ برقرار می کند . پس تعداد چنین مثلث هایی برابر است با تعداد راه های انتخاب $3$ نقطه از نقاط روی پاره خط $B'C'$ . روی پاره خط $B'C' $ , $n+2$ نقطه موجود است پس : $$ \Delta (n)= \binom{n+2}{3} $$ حال تعداد مثلث هایی را می شماریم که قاعده آنها موازی $BC$ است ولی راس آنها ( نوک مثلث ) رو به پایین است . تعداد این مثلث ها را با نماد $ \sigma (n) $ نمایش می دهیم . در شبکه مثلثی $ABC$به ازای هر مثلث کوچک که طول ضلع آن $1$ است و هیچ یک از اضلاع آن بر اضلاع مثلث $ABC$ منطبق نمی باشد یک نقطه در داخل آن مثلث قرار میدهیم به شکل زیر توجه نمایید : enter image description here

این نقاط را نقاط مرکزی می نامیم .حال هریک از این نقاط متناظر با یک مثلث هستند که قاعده آن موازی ضلع $BC$ است و راس آن ( نوک مثلث ) رو به پایین است . زیرا فرض کنید $XYZ$ مثلثی است که ضلع $YZ$ موازی $BC$ است و راس $X$ و راس $A$ در دو طرف متمایز پاره خط $YZ$ هستند در این صورت مرکز مثلث $XYZ$ منطبق بر یکی از این نقاط است . به شکل زیر توجه نمایید : enter image description here

همانطور که در شکل مشاهده می کنید مثلث $XYZ$ متناظر با نقطه $P$ است که در مرکز آن قرار گرفته است . پس تعداد چنین مثلث هایی برابر است با تعداد این نقاط مرکزی . برای شمارش تعداد این نقاط کافی است ابتدا تعداد کل مثلث های کوچک به طول ضلع $1$ را در شبکه مثلثی $ABC$ بشماریم که برابر است با : $$1+3+...+(2n-1)=n^2$$ حال تعداد مثلث های کوچک به طول ضلع $1$ را که که یک ضلع آنها منطبق بر یکی از اضلاع مثلث $ABC$ می باشد را از آن کم می کنیم که تعداد این مثلث ها برابر است با : $$n+(n-1)+(n-2)=3n-3$$ پس تعداد نقاط مرکزی در شبکه مثلثی $ABC$ برابر است با : $$n^2-(3n-3)=n^2-3n+3$$ پس : $$ \sigma (n)=n^2-3n+3$$ بنابراین تعداد کل مثلث های شبکه مثلثی $ABC$ برابر است با : $$ \Delta (n)+ \sigma (n)=\binom{n+2}{3}+n^2-3n+3$$

دارای دیدگاه توسط fardina
+2
@rezasalmanian
@kolge
تشکر کردید ولی میتونستید با مثبت دادن تشکر کنید. http://math.irancircle.com/help#q5

@کیوان+عباس+زاده
این چنین جوابهایی رو میتونید در صفحه وبلاگ سایت هم با اسم خودتون منتشر کنید.
دارای دیدگاه توسط kazomano
+2
استدلالت بسیار جالب و زیباست.ولی بخش اول استدلالت رو قبلا در کتاب المپیاد های ریاضی ایران جلد اول نوشته دکتر محمودیان در سوال پیدا کردن تعداد متوازی الاضلاع ها دیده بودم.
دارای دیدگاه توسط کیوان عباس زاده
خیلی ممنون دوست عزیز . من شبیه این راه حلو جایی ندیدم ولی مطمئنا حق با شماست . پروفسور عبادالله محمودیان بزرگترین استاد ترکیبیات و گراف ایران هستند و در حال حاضر استاد راهنمای بنده می باشند.
دارای دیدگاه توسط kazomano
خوشا به سعادتت.امیدوارم در عرصه علم و دانش بدرخشی.
دارای دیدگاه توسط kazomano
+1
نمیدونم چرا این فرمول برای n=1 جواب 2 رو میده در حالیکه جواب درست یکه
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
61 نفر آنلاین
1 عضو و 60 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4552
بازدید دیروز: 4732
بازدید کل: 4867915
...