چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
106 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط kazomano
ویرایش شده توسط kazomano

فرض کنیم $a>0,b>0,c>0$و $a<bc$ و $1+ a^{3} = b^{3} + c^{3} $.ثابت کنید $ 1+a<b+c $.

مرجع: دانشگاه تورنتو 2001

2 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano
ویرایش شده توسط kazomano

چون $(1+a)(1-a+ a^{2} )=(b+c)( b^{2} -bc+ c^{2} )$ و چون $ (1-a+ a^{2} ),b^{2} -bc+ c^{2}= \frac{1}{2} (b-c)^{2} + \frac{1}{2} ( b^{2} + c^{2} ) $ مثبت است پس

$1+a< b+c \Longleftrightarrow 1-a+ a^{2}>b^{2} -bc+ c^{2}$.

حال فرض کنیم حکم برقرار نباشد یعنی $ 1+a \geq b+c $ آنگاه

$ b^{2} -bc+ c^{2} \geq 1-a+ a^{2} \Rightarrow (b+c)^{2} -3bc \geq (1+a)^{2} -3a>(1+a)^{2}-3bc \Rightarrow b+c>1+a $

که تنافضه

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano
ویرایش شده توسط fardina

این برهان از [J. Chui] می باشد.

گیریم $u=(1+a)-(b+c)$ آن گاه

$ (1+a)^{3} - (b+c)^{3} =u[(1+a)^{2} +(1+a)(b+c)+ (b+c)^{2} ] $

اما

$ (1+a)^{3} - (b+c)^{3} =(1+ a^{3} )-( b^{3} + c^{3} ) +3a(1+a)-3bc(b+c)=0+3[a(1+a)-bc(b+c)]< 3bcu$

بنابراین

$ u[(1+a)^{2} +(1+a)(b+c)+ b^{2} -bc+ c^{2} ] < 0$

حال چون داخل براکت مثبت پس باید $u< 0$ و اثبات تمام است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
37 نفر آنلاین
0 عضو و 37 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 633
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4695673
...