چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
558 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط nasimdiba
دوباره دسته بندی کردن توسط fardina

نشان دهید هرتابع یکنوا بورل اندازه پذیر است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

من برای وقتی که تابع صعودیه اثبات می کنم. شما برای نزولی اثبات کنید.

پس فرض کنید $f:\mathbb R\to \mathbb R $ صعودی باشد. نشان می دهیم بورل اندازه پذیر است. برای این کار کافی است نشان دهیم مجموعه $ E=\{x: f(x)>a\} $ برای هر $ a $ دلخواه بورل اندازه پذیر است. چون $ f(x)>a $ لذا $ x>f^{-1}(a) $ .

اما توجه کنید که باید چند حالت رو در نظر بگیریم. چون ممکنه $ f^{-1}(a)$ فقط یک عدد نباشه بلکه یک مجموعه باشه پس بهتره که قرار بدیم: $ \alpha=\sup f^{-1}(a) $

در اینصورت چند حالت داریم:

  1. اگر $ \alpha=\infty $ آنگاه $ E=\emptyset$
  2. اگر $\alpha=-\infty $ آنگاه $E=\mathbb R $
  3. اگر $ \alpha $ متناهی باشد آنگاه $ E=(\alpha, \infty) $ (چرا؟؟؟؟)

پس در هر صورت $E $ اندازه پذیر است و لذا هر تابع صعودی یک تابع بورل اندازه پذیر است.

دارای دیدگاه توسط rahaa
+2
چون ممکنه f−1(a) فقط یک عدد نباشه بلکه یک مجموعه باشه. وقتی تابع یکنواست باز هم مجموعه میشه؟
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
مثلا تابع $f:\mathbb R\to \mathbb R$ رو در نظر بگیرید که $f(x)=1$ می دونید که توابع ثابت هم صعودی هستند و هم نزولی.
ولی اگر اکیدا یکنوا بود اونوقت حرف شما درست بود.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
62 نفر آنلاین
0 عضو و 62 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3593
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687401
...