چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
85 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط کیوان عباس زاده

فرض کنید $A=(a_{i,j})_{n \times n}$ یک ماتریس حقیقی است به طوری که به ازای هر $i,j$ داریم $|a_{i,j}| \leq 1$ ثابت کنید : $$|det(A)|^2 \leq \prod_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |a_{i,j}|^2 $$

دارای دیدگاه توسط kazomano
شرطی که قرار دادی زائده.بدون اون شرط فرمول برقراره.

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano
ویرایش شده توسط kazomano

برای اثبات دوتا لم رو ثابت می کنیم لم 1:گیریم A یک ماتریس معین مثبت $n \times n$ و B ماتریس $(n+1) \times (n+1)$ زیر باشد

$B= \begin{bmatrix}A & b \\b'& \alpha \end{bmatrix} $

انگاه $ \mid B \mid \leq \alpha \mid A \mid $. برهان:$ \mid B \mid = \mid A \mid ( \alpha -b' A^{-1} b)$ و از این فرمول لم ثابت می شود.

لم2:گیریم A یک ماتریس معین مثبت $n \times n$ باشد.آن گاه $ \mid A \mid \leq \prod_1^n a_{ii} $.

برهان:گیریم $ A_{(k)} $ کاامین زیرماتریس اصلی باشد.در این صورت بدیهی است که $ A_{(n)}=A, A_{(1)}=a_{11}$.حال باتوجه به لم قبلی داریم $ \mid A_{(n)} \mid \leq a_{nn} \mid A_{(n-1)} \mid \leq \prod_1^n a_{ii} $ و اثبات تمام است.

حالا فرمول اصلی رو ثابت می کنیم $AA'$ معین مثبت است طبق لم 2 داریم

$ \mid A \mid ^{2}= \mid AA' \mid \leq \prod_1^n ( \sum_1^n a_{ij} ^{2}) $

روش دیگه اثبات استفاده از تجزیه QR

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
40 نفر آنلاین
0 عضو و 40 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 830
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709972
...