به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
82 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط کیوان عباس زاده

مجموع زیر را بیابید: $$ \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n+1} \binom{n+1}{j} \binom{n}{i} $$

2 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7

$$u_n=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n+1} {n+1\choose j}{n\choose i}=\sum_{i=0}^{n-1}{n\choose i}\sum_{j=i+1}^{n+1} {n+1\choose j}$$

$$u_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}\left[{n\choose i}+{n\choose i-1}\right]\sum_{j=i+1}^{n+2} \left[{n+1\choose j}+{n+1\choose j-1}\right]$$ $u_{n+1}=a_n+b_n+c_n+d_n$

$$a_n=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}\sum_{j=i+1}^{n+2} {n+1\choose j}=1+\sum_{i=0}^{n-1}{n\choose i}\sum_{j=i+1}^{n+1} {n+1\choose j}=1+u_n$$

$$b_n=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}\sum_{j=i+1}^{n+2} {n+1\choose j-1}=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}\sum_{j=i}^{n+1} {n+1\choose j}\=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}{n+1\choose i}+\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}\sum_{j=i+1}^{n+1} {n+1\choose j}\=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}{n+1\choose i}+u_n+1$$ $$c_n=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i-1}\sum_{j=i+1}^{n+2} {n+1\choose j}=\sum_{i=0}^{n-1}{n\choose i}\sum_{j=i+2}^{n+1} {n+1\choose j}\=u_n-\sum_{i=0}^{n-1}{n\choose i}{n+1\choose i+1}$$ $$d_n=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i-1}\sum_{j=i+1}^{n+2} {n+1\choose j-1}=\sum_{i=0}^{n-1}{n\choose i}\sum_{j=i+2}^{n+2} {n+1\choose j-1}\=\sum_{i=0}^{n-1}{n\choose i}\sum_{j=i+1}^{n+1} {n+1\choose j}=u_n$$

,

$$u_{n+1}=4u_n+2+\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}{n+1\choose i}-\sum_{i=0}^{n-1}{n\choose i}{n+1\choose i+1}\=4u_n+3+\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}{n+1\choose i}-\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}{n+1\choose i+1}$$

Vandermonde's identity:

$$\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}{n+1\choose i}=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}{n+1\choose i+1}={2n+1\choose n+1}$$


$u_{n+1}=4u_n+3$, $u_1=3$ ($u_0=0$ ). $u_n=4^n-1$.

دارای دیدگاه توسط کیوان عباس زاده
+1
آفرین! البته من یک راه حل دیگری داشتم اما این راه حل هم خیلی زیباست.
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7

برای $i=0$

داریم$${n+1\choose1}+\dots+{n+1\choose n+1}=2^{n+1}-1$$

برای $n$ (فرد) $$2^{n+1}-1+2^{n+1}\frac{2^n-2}{2}=4^n-1$$ $n$ (زوج) $i$ $${n\choose n/2}\left({n+1\choose n/2+1}+\dots+{n+1\choose n+1}\right)=\frac{1}{2}{n\choose n/2}2^{n+1}$$

$$2^{n+1}-1+2^{n+1}\frac{2^n-2}{2}=4^n-1$$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
64 نفر آنلاین
1 عضو و 63 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2796
بازدید دیروز: 5083
بازدید کل: 4840989
...