به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
115 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط کیوان عباس زاده

ثابت کنید در میان هر $7$ عدد حقیقی دو به دو متمایز دو عدد $x,y$ یافت می شوند که : $$0 < \frac{x-y}{1+xy} < \frac{\sqrt{3}}{3}$$

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط کیوان عباس زاده
انتخاب شده توسط کیوان عباس زاده
 
بهترین پاسخ

از این نکته استفاده می کنیم که به ازای هر عدد حقیقی $x$ , عدد $ \frac{- \pi }{2} < \theta < \frac{ \pi }{2} $ وجود دارد که $x=tan\ \theta $ . حال فرض کنید $7$ عدد حقیقی متمایز در اختیار داریم که عبارتند از : $$x_{1},x_{2},...,x_{7}$$ پس $7$ عدد متمایز $ \theta _{1}, \theta _{2},..., \theta _{7} $ در بازه $(\frac{- \pi }{2}, \frac{ \pi }{2})$ وجود دارند که : $$x_{1}=tan\ \theta _{1}\ ,\ x_{2}=tan\ \theta _{2},\ ... ,\ x_{7}=tan\ \theta _{7}$$ بازه $(\frac{- \pi }{2}, \frac{ \pi }{2})$ را به $6$ قسمت مساوی تقسیم می کنیم که طول هر قسمت $\frac{ \pi }{6}$ است . طبق اصل لانه کبوتری حداقل $2$ عدد از میان $7$ عدد $ \theta _{1},...,\theta _{7} $ در یکی از این $6$ قسمت قرار می گیرند به عبارتی $i,j$ وجود دارند که $i \neq j$ و $| \theta _{i}- \theta _{j}| \leq \frac{ \pi }{6}$ . می توان فرض کرد که داریم $ \theta _{j} < \theta _{i} $ پس $ 0 < \theta _{i}- \theta _{j} \leq \frac{ \pi }{6} $ . حال از طرفین $tan$ می گیریم داریم : $$ 0<tan(\theta _{i}- \theta _{j}) \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$ 0< \frac{tan\ \theta _{i}-tan\ \theta _{j}}{1+tan\ \theta _{i}\ tan\ \theta _{j}}\leq \frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$ 0< \frac{x_{i}-x_{j}}{1+x_{i}x_{j}}\leq \frac{\sqrt{3}}{3}$$ و حکم ثابت شد .

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...