چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
87 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط kazomano

اشتباه استدلال زیر در کجاست با تغییر متغیر $y=cx ,c>0$ داریم

$ \int_0^ \infty \frac{ e^{-ax} - e^{-bx} }{x}dx= \int_0^ \infty \frac{ e^{-ax} }{x}dx- \int_0^ \infty \frac{ e^{-bx} }{x} dx = \int_0^ \infty \frac{ e^{-y} }{y} dy - \int_0^ \infty \frac{ e^{-y} }{y} dy=0 $

ولی می دانیم که انتگرال سمت چپ برابر $ln( \frac{b}{a}) $.

3 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط کیوان عباس زاده

انتگرال $ \int_0^{ \infty }\frac{e^{-y}}{y} \ dx $ واگرا به $ \infty $ است پس : $$ \int_0^ \infty \frac{ e^{-y} }{y} dy - \int_0^ \infty \frac{ e^{-y} }{y} dy= \infty - \infty $$ که مبهم است .

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
نمایش از نو توسط admin
$$\begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-bx} - e^{-ax}}{x} \, dx &= - \int_{0}^{\infty} \int_{a}^{b} e^{-xt} dt \, dx \\ &= - \int_{a}^{b} \int_{0}^{\infty} e^{-xt} dx \, dt \\ &= - \int_{a}^{b} \frac{dt}{t} = - \left[ \log x \right]_{a}^{b} = \log\left(\frac{a}{b}\right). \end{align}$$
دارای دیدگاه توسط کیوان عباس زاده
+1
هیچی معلوم نیست لطفا ویرایش کنید.
دارای دیدگاه توسط saderi7
سه باز ویرایش کردم نشد .
بازم سعی میکنم .
دارای دیدگاه توسط کیوان عباس زاده
آفرین به شما .ولی شما راه حلو گفتید نه اشکال استدلالو.
دارای دیدگاه توسط saderi7
خواهش میکنم .
درسته من خواستم فقط به روش دیگه بذارم .
0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
نمایش از نو توسط admin
$$\begin{align}&\int_{0}^{\infty}\frac{\exp(-ax) - \exp(-bx)}{x}dx \\ &= \lim_{\epsilon\to 0}\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{\exp(-ax) - \exp(-bx)}{x}dx\\ &=\lim_{\epsilon\to 0}\left[\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{\exp(-ax)}{x}dx - \int_{\epsilon}^{\infty}\frac{\exp(-bx)}{x}dx\right]\\ &=\lim_{\epsilon\to 0}\left[\int_{a\epsilon}^{\infty}\frac{\exp(-t)}{t}dt - \int_{b\epsilon}^{\infty}\frac{\exp(-t)}{t}dt\right]\\ &=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{a\epsilon}^{b\epsilon}\frac{\exp(-t)}{t}dt=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{a}^{b}\frac{\exp(-\epsilon u)}{u}du \end{align} $$
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
66 نفر آنلاین
0 عضو و 66 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2370
بازدید دیروز: 5078
بازدید کل: 4673829
...