چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
130 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط behruz
ویرایش شده توسط admin

می دانیم $m ^{*} ( \bigcup_1^\infty A _{n} ) \leq \sum_1^ \infty \ m ^{*} ( A _{n} ) $ . مثالی بیاورید که

$$m ^{*} ( \bigcup_1^\infty A _{n} ) < \sum_1^ \infty \ m ^{*}(A_{n}) $$

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

اول به این سوال مراجعه کنید لطفا ببینید که چطوری مجموعه اندازه ناپذیر $ N $ رو ساختیم. در اینجا قسمتی از اینکه چطوری $N $ تعریف میشه آوردم. برای اثبات اندازه ناپذیری این مجموعه به اون سوال که گفتم مراجعه کنید.


یک رابطه هم ارزی روی $\mathbb R $ به صورت زیر تعریف کنید: $$ x\sim y \Leftrightarrow x-y\in \mathbb Q $$ این یک رابطه هم ارزی بوده و کلاس های هم ارزی به شکل: $$\begin{align} [x]&=\{y\in\mathbb R: x\sim y\}\\ &=\{x+r: r\in\mathbb Q\}\\ &=\mathbb Q +x\end{align}$$ می دانیم که این کلاس های هم ارزی یا با هم مساوی اند یا از هم جدا هستند یعنی: $$ \forall x,y\in\mathbb R, \quad ya\ \ [x]=[y]\quad ya\ \ [x]\cap [y]=\emptyset $$ و همچنین کلاس های هم ارزی تشکیل یک افراز برای اعداد حقیقی می دهند: $$\bigcup_{x\in\mathbb R}[x]=\mathbb R $$ . همه ی کلاس های هم ارزی شمارا هستند در حالیکه $ \mathbb R $ ناشمارا است. لذا باید تعداد ناشمارایی از این کلاس های هم ارزی مخالف هم باشند.

حال با استفاده از اصل انتخاب یک مجموعه ی $N $ که دقیقا از انتخاب یک عضو از هر کدام از آن کلاس های هم ارزی از هم جدا تشکیل شده است وجود دارد. به عبارت دیگر ما مجموعه $ N $ را با انتخاب فقط یک عضو از هر کدام از آن کلاس های مجزا از هم انتخاب می کنیم. خوب پس $N $ این خواص رو داره:

  • $ N $ ناشمارا است.

  • $ x,y\in N \Rightarrow x\nsim y\Rightarrow x-y\notin\mathbb Q $
  • $ \{[x]:x\in N\} $ مجموعه تمام کلاس های هم ارزی مجزا است.

  • $ \bigcup_{x\in N}[x]=\bigcup_{x\in N} (\mathbb Q+x)=\mathbb R $ .

حال تعریف می کنیم: قسمت اعشاری $ x\ mod\ 1\ =x$

یعنی $y=x\ mod\ 1 $ یک عدد در بازه ی $ [0,1) $ است به طوریکه $ x=y+n $ برای یک عدد صحیح $ n $ .

حال به جای هر $x\in N $ قسمت اعشاری آن را در نظر می گیریم و مجموعه $ N $ را با مجموعه ی زیر عوض می کنیم: $$ \{ x\ mod\ 1: x\in N\} $$ . این $ N$جدید دارای خواص مشابهی مانند $ N$قبلی است. یعنی شامل یک عضو از هر کلاس هم ارزی مجزا است. و از طرفی حالا می دانیم که $N\subset[0,1) $ .

این مجموعه $ N $ اندازه ناپذیر است.(اثباتش در اون سوالی که گفتم اومده)

چون اندازه ناپذیر است لذا باید $ m^*(N)>0 $ باشد(چون اندازه لبگ کامل بوده و اگر برابر صفر باشد لبگ اندازه پذیر میشه در حالیکه میدونیم اندازه ناپذیره).

فرض کنید $ N_r $ انتقالی از $ N $ به اندازه ی $ r $ باشد و سپس از آن
$ mod\ 1$ بگیرد تا $N_r $ داخل $[0,1) $ باقی بماند:(یه شکل برای خودتون بکشید) $$ \begin{align} N_r&=(N+r)\ mod\ 1\\ &=\{x+r\ mod\ 1:x\in N\}\\ &=\big(N+r\cap[0,1)\big)\cup\big( N+r-1\cap[0,1)\big) \end{align}$$


حال مجموعه های $ N_r $ برای $$ r\in R=\mathbb Q\cap [0,1) $$ را در نظر بگیرید.

واضح است که فقط تعداد شمارایی از مجموعه های $ N_r $ با $ r\in R $ موجود است. حال داریم:

  • مجموعه های $N_r $ که $ r\in R $ مجموعه ی $ [0,1) $ را می پوشانند، یعنی $ [0,1)\subset \bigcup N_r$ . و از طرفی $ \bigcup N_r\subset [0,2] $ .(چرا؟)

  • مجموعه های $ N_r $ که $r\in R $ مجزا هستند.(چرا؟)

  • داریم $ m^*(N_r)=m^*(N)$ (چون فقط انتقالی از $N $ هستند).

در اینصورت گردایه $\{N_r\} $ جواب مورد نظر شماست. چون $$ \sum_{r\in R}m^*(N_r)=\infty $$ در حالیکه $$m^*(\bigcup_{r\in R}N_r)\leq m^*([0,2])=2 $$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
59 نفر آنلاین
0 عضو و 59 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 417
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709559
...