چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
116 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط kazomano
ویرایش شده توسط kazomano

فرض کنیم $ a_{n} , b_{n} $ دنباله های حقیقی مثبت باشند به طوری که

$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ a_{n} }{n}=u>0 $ و

$ \lim_{n \rightarrow \infty } ( \frac{ b_{n} }{ a_{n} } )^{n}=v>0 $ نشان دهید

$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ b_{n} }{ a_{n} } =1$و $ \lim_{n \rightarrow \infty } ( b_{n} - a_{n} )=ulogv$

مرجع: دانشگاه تورنتو 2014
دارای دیدگاه توسط کیوان عباس زاده
سلام . این سوال که تغییری نکرده . بازم همونه !
دارای دیدگاه توسط kazomano
چرا دیگه الان تغییر کرده توان 2 شده n

2 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano
انتخاب شده توسط kazomano
 
بهترین پاسخ
$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ b_{n} }{ a_{n} }= \lim_{n \rightarrow \infty } exp \frac{1}{n} ln ( \frac{ b_{n} }{ a_{n} } )^{n} =exp0=1 $

فرض کنیم $v \neq 1$.برای n به اندازه کافی بزرگ و$ a_{n} \neq b_{n} $

داریم

$( a_{n} - b_{n} )[( \frac{ a_{n} }{ b_{n} - a_{n} } )ln(1+ \frac{b_{n} - a_{n}}{ a_{n} } )]= \frac{ a_{n} }{n} ln ( \frac{ b_{n} }{ a_{n} } )^{n} $

از طرفی $ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{b_{n} - a_{n}}{a_{n}}=0 $ و

$ \lim_{t \rightarrow 0} \frac{ln(1+t)}{t}=1 $ بنابراین $ \lim_{a \rightarrow b} (b_{n} - a_{n}).1=ulnv$

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط کیوان عباس زاده

فک کنم حکم مسئله اشتباه است چون قرار دهید $a_{n}=3n+1$ داریم : $$lim_{n \rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{n}=\frac{3n+1}{n}=3$$ پس $u=3$ . حال قرار دهید $b_{n}=2n+1$ داریم : $$lim_{n \rightarrow \infty }(\frac{a_{n}}{b_{n}})^2=lim_{n \rightarrow \infty }(\frac{3n+1}{2n+1})^2=\frac{9}{4}$$ پس $v=\frac{9}{4}$ . حال داریم : $$lim_{n \rightarrow \infty }\frac{b_{n}}{a_{n}}=lim_{n \rightarrow \infty }\frac{2n+1}{3n+1}=\frac{2}{3} \neq 1$$ و همچنین داریم : $$lim_{n \rightarrow \infty }(b_{n}-a_{n})=lim_{n \rightarrow \infty }(2n+1-3n-1)=- \infty $$ در صورتی که داریم : $$u\ log\ v=3\ log\ (\frac{9}{4})$$

دارای دیدگاه توسط kazomano
عذر میخوام.درست میگی.سوال رو اشتباه نوشتم.تصحیح کردم
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
36 نفر آنلاین
0 عضو و 36 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 635
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4695675
...