چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
703 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط کیوان عباس زاده

برای یک دانش آموز اول دبیرستان ثابت کنید سری زیر واگراست : $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...$$

3 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano

اثباتی که آورده میشه از کازومانو می باشد و در سال 1998 ارائه شده.

$ \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} = \frac{2}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} $

با توجه به این رابطه فرض می کنیم سری همگرا به s باشه داریم

$s=1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} +...$

$=(1+ \frac{1}{2} )+( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} )+( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} )+( \frac{1}{7} + \frac{1}{8} )...$

$=(1+ \frac{1}{2} )+( \frac{1}{2} + \frac{1}{12} )+( \frac{1}{3} + \frac{1}{30} )+( \frac{1}{4} + \frac{1}{56} )+...$

$=s+( \frac{1}{2} + \frac{1}{12} + \frac{1}{30} + \frac{1}{56} +...)$ که تناقضه و حکم ثابت میشه.

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano

اثبات منگولی

$ \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} = \frac{2n}{ n^{2} -1} > \frac{2}{n} $

$ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} > \frac{2}{3} , \frac{1}{5} + \frac{1}{7} > \frac{2}{6} ,....$

فرض کنیم سری همگرا به s باشد داریم

$s=1+( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} )+( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} )+( \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} )+...$

$>1+ \frac{3}{3} + \frac{3}{6} + \frac{3}{9} +...=1+s$

که تناقض می باشد و حکم ثابت شده است.

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano

این اثبات برای اولین بار توسط کوهم و نایت در سال 1979 و بعدتر توسط اکر در سال 1997 ارائه شده است

فرض کنیم سری هارمونیک به s همگرا باشد در این صورت باید

$ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} +...+ \frac{1}{2n} +...= \frac{1}{2}s $

حال برای اینکه سری هارمونیک به s همگرا باشد باید سری زیر به $ \frac{1}{2} s$همگرا باشد

$1+ \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{2n-1} +...$

ولی واضح است که برای n های مثبت و صحیح داریم $ \frac{1}{2n-1} > \frac{1}{2n} $

و این تناقض حکم را ثابت می کند.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
41 نفر آنلاین
0 عضو و 41 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 597
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4695637
...