به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
154 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Ffffff

اگه ممکن هست در مورد فشردگی کره یکه در فضاهای متناهی البعد توضیح بدهید و فضای L ۲ نامتناهی آلبعد هست ،لطفا با توضیح بگین چرا گوی یکه فشرده نیست

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

اگر $X$ یک فضای نرمدار متناهی بعد(روی $\mathbb R$ یا $\mathbb C$ که ما بدون کاستن از کلیت فرض میکنیم $\mathbb R$ ) باشد آنگاه هر زیر مجموعه بسته و کراندار $X$ فشرده خواهد بود.

زیرا اولا تابع خطی و همومورفیسم $T:X\to \mathbb R^n$ موجود است و اگر $A\subset X$ بسته باشد از همومورفیسم بودن $T(A)$ نیز بسته خواهد بود و کراندار بودن هم از کرانداری $T$ و کرانداری مجموعه $A$ نتیجه می شود. در واقع چون $T$ پیوسته است لذا کراندار است یعنی $K$ موجود است که $\|Tx\|\leq K\|x\|$ و چون $A$ کراندار است پس $K'$ هست که $\|x\|\leq K'$ برای هر $x\in A$ لذا برای هر $x\in A$ داریم $\|Tx\|\leq K\|x\|\leq KK'$ .

پس $T(A)$ به عنوان زیر مجموعه ای از $\mathbb R$ بسته و کراندار است لذا فشرده است و چون $T$ همومورفیسم است پس $A$ نیز فشرده است.

چون گوی بسته $B=\{x:\|x\|\leq 1\}$ بسته و کراندار است پس فشرده است.

گوی یکه در $\ell^2$ فشرده نیست مثلا دنباله $(1,0,0,...),(0,1,0,...),(0,0,1,0,...),...$ را در نظر بگیرید.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
52 نفر آنلاین
1 عضو و 51 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1995
بازدید دیروز: 5435
بازدید کل: 4835106
...