به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
159 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Ffffff

اگه ممکن هست در مورد فشردگی کره یکه در فضاهای متناهی البعد توضیح بدهید و فضای L ۲ نامتناهی آلبعد هست ،لطفا با توضیح بگین چرا گوی یکه فشرده نیست

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

اگر $X$ یک فضای نرمدار متناهی بعد(روی $\mathbb R$ یا $\mathbb C$ که ما بدون کاستن از کلیت فرض میکنیم $\mathbb R$ ) باشد آنگاه هر زیر مجموعه بسته و کراندار $X$ فشرده خواهد بود.

زیرا اولا تابع خطی و همومورفیسم $T:X\to \mathbb R^n$ موجود است و اگر $A\subset X$ بسته باشد از همومورفیسم بودن $T(A)$ نیز بسته خواهد بود و کراندار بودن هم از کرانداری $T$ و کرانداری مجموعه $A$ نتیجه می شود. در واقع چون $T$ پیوسته است لذا کراندار است یعنی $K$ موجود است که $\|Tx\|\leq K\|x\|$ و چون $A$ کراندار است پس $K'$ هست که $\|x\|\leq K'$ برای هر $x\in A$ لذا برای هر $x\in A$ داریم $\|Tx\|\leq K\|x\|\leq KK'$ .

پس $T(A)$ به عنوان زیر مجموعه ای از $\mathbb R$ بسته و کراندار است لذا فشرده است و چون $T$ همومورفیسم است پس $A$ نیز فشرده است.

چون گوی بسته $B=\{x:\|x\|\leq 1\}$ بسته و کراندار است پس فشرده است.

گوی یکه در $\ell^2$ فشرده نیست مثلا دنباله $(1,0,0,...),(0,1,0,...),(0,0,1,0,...),...$ را در نظر بگیرید.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...