چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
48 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط af
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

فرض کنید [R=A[x,y و (a = (x,y در این صورت ایده الهای مونومیال I, J از Rرا چنان بیابیدکه (r(a)=r(J)=r(I و

$I \subseteq J$ و $C _{R}(I) \cap C _{R}(J) = \emptyset $.

مرجع: کتاب Monomial Ideals and their decompositions نوشتهٔ Frank Moore و دیگران

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط af
 
بهترین پاسخ

متن پرسش ۶.۳.۱۸ از شما تنها یک نمونه (مثال) خواسته است و نه تمام ایده‌آل‌های $I$ و $J$ با این ویژگی‌ها را!

نکتهٔ یکم: رادیکال یک ایده‌آل تک‌جمله‌ای، ایده‌آلی تک‌جمله‌ای است و یک مولد برای آن به این روش تهیه می‌شود که یک مولد برای ایده‌آل تک‌جمله‌ای پیشین بردارید متشکل از تک‌جمله‌ای‌ها سپس تمام توان‌های آن را یک کنید و تک‌جمله‌ای‌های جدید را درون یک مجموعهٔ جدید بگذارید. این مجموعه یک مولد برای این رادیکال می‌شود. اثبات آن بسیار ساده است.

پس اگر ایده‌آل تک‌جمله‌ای‌ از $R$ رادیکالش برابر $\langle x,y\rangle$ شود، به این معناست که یک مولد از آن ایده‌آل بوده‌است که شامل دو عنصر به شکل‌های $x^n$ و $y^m$ ای بوده‌است برای دو عدد طبیعی $n$ و $m$ای. پس تا اینجا می‌دانیم که نامزدهای ما هر کدام باید دو تک‌جمله‌ای به شکل یادشده داشته باشند و آزاد هستن که هر تک‌جمله‌ای دیگری نیز که بخواهند در مولدشان داشته باشند.

نکتهٔ دوم: ایده‌آل تک‌جمله‌ای $J$ زیرمجموعهٔ ایده‌آل تک‌جمله‌ای $I$ است اگر و تنها اگر ناحیهٔ نموداری ایده‌آل $J$ زیرمجموعهٔ ناحیهٔ نموداری ایده‌آل $I$ شود که در پاسخ پرسش «خارج قسمت $a=(x_1,\cdots,x_n)R$ و یک ایده ال تک‌جمله‌ای» منظور از این ناحیه‌ها را توضیح داده‌ایم.

به غیر از اینکه در نمونه‌مان باید نکتهٔ یک و دو را رعایت کنیم باید حواسمان باشد که گوشه‌های این دو ایده‌آل تک‌جمله‌ای با یکدیگر اشتراکی نداشته باشند.

همیشه از ساده‌ترین حالت شروع کنید و اگر چیزی نیاز بود بیافزایید. بنا به نکتهٔ یکم باید مولد دو ایده‌آلمان دست کم دو عنصر به شکل توان‌هایی از متغیرهایمان داشته باشند پس بیاییم فعلاً با تنها همان دو عضو شروع کنیم و اگر نتوانستیم به پیروزی برسیم تک‌جمله‌ای‌های بیشتری در نظر بگیریم.

نکتهٔ سوم: یک ایده‌آل تک‌جمله‌ای به شکل $\langle x^n,y^m\rangle$ تنها دارای یک گوشه است و آن تک‌جمله‌ای $x^{n-1}y^{m-1}$ است.

بنابراین با قرار دادن $I=\langle x^4,y^4\rangle$ و $I=\langle x^2,y^2\rangle$ داریم $\sqrt{I}=\sqrt{J}=\langle x,y\rangle$ و $J\subseteq I$ و $$C_R(I)\cap C_R(J)=\{x^3y^3\}\cap\{xy\}=\emptyset$$

enter image description here

در واقع هدف پرسش این بوده است که ببینید الزامی ندارد که اگر دو ایده‌آل تک‌جمله‌ای دارای رادیکال یکسان باشند آنگاه گوشه‌هایشان رابطه‌ای داشته باشند، حتی برابر ایده‌آل بیشینهٔ $\langle x_1,\cdots,x_n\rangle$ باشند و یا حتی یکی هم زیرمجموعهٔ دیگری باشد!

الزامی ندارد یعنی می‌تواند برقرار باشد و می‌تواند برقرار نباشد یا بهتر بگوئیم شرایط آورده شده برای تضمین برقراری حکم کافی نیستند.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
96 نفر آنلاین
0 عضو و 96 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3685
بازدید دیروز: 8256
بازدید کل: 4498808
...