چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
304 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط بهروز
ویرایش شده توسط fardina

میدانیم مجموعه $ E $ پوچ نام دارد اگر

الف) $ E $ اندازه پذیر باشد

ب) $ \mu (E)=0 $

حال اگر $ E$ پوچ و $ N \subset E $ آیا $N $ هم پوچ است؟ مثال برنید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

خیر. زیرمجموعه ی هر مجموعه پوچ یک مجموعه ی پوچ نیست.

در واقع مشکل اصلی اینجاس که اگر $\mu(E)=0 $ و $N\subset E $ نمی توان نتیجه گرفت $ N $ هم اندازه پذیر است. برای مثال اندازه صفر( یعنی اندازه هر مجموعه ای برابر صفر شود) روی سیگماجبر $ \mathcal M=\{\emptyset, X\} $ رو مجموعه $ X=\{1,2\}$ را در نظر بگیرید. در اینصورت $\mu(X)=0 $ در حالیکه $ \{1\}\notin \mathcal M $ .

دارای دیدگاه توسط بهروز
+1
با سلام یه مشکل در فهم موضوع داشتم
آیا (با مثالی که زدید  X زیرمجموعه M به شمار می اید ) درست است؟
اندازه X و  اندازه M را چطور میشه حساب کرد؟
اینکه {1} در M نیست باعث چه میشود؟
دارای دیدگاه توسط fardina
$\mathcal M$ دو تا عضو دارد یکی $\emptyset$ و دیگری $X$ که در آن $X=\{1,2\}$.
اینکه $\{ 1\}$ در $\mathcal M$ نیست پس اندازه پذیر نیست و لذا اندازه ی آن هم تعریف نمی شود.
فکر کنم بهتره یک بار دیگه تعریف ها رو برای خودتون مرور کنید.
دارای دیدگاه توسط بی نام
+1
((طبق تعریف اگر M یک سیگماجبر باشد-که در این مثال هست-، به اعضای M مجموعه های اندازه پذیر میگویند)) درسته؟
((خب اندازه تهی که مساوی صفر اندازه X هم چون شماراست مساوی صفر)) درسته؟
حالا اینکه {1} در M نیست چرا M اندازه پذیر نمیشه متوجه نمیشم؟
دارای دیدگاه توسط fardina
اگر $(X,\mathcal M, \mu)$ یک فضای اندازه باشد در اینصورت $\mu$ روی اعضای $\mathcal M$ تعریف میشه. وگرنه خود $\mathcal M$ مجموعه ای از زیرمجموعه های $X$ است. $\mu$ که روی $\mathcal M$ تعریف نشده بلکه روی اعضای آن تعریف می شود. اصلا کی گفته $\mathcal M$اندازه پذیره یا نه. ما در مورد $\{ 1\}$ که اندازه ناپذیره(چون عضوی از $\mathcal M$ نیست) حرف میزنیم.
جریان اون مثال نقض هم از این قراره که فضای اندازه ما $(X,\mathcal M,\mu)$ عبارت است از $X=\{1,2\}$ و $\mathcal M=\{\emptyset, X\}$ و$\mu=0$ تابع صفر است. یعنی $\mu(\emptyset)=0$ و $\mu(X)=0$. توجه کنید که اندازه $X$ صفر می شود چون $\mu$ تابع صفر است و هیچ ربطی به شمارایی ندارد.
حالا اگر قرار باشه $\mu$ کامل باشه باید هر زیرمجموعه $X$ اندازه پذیر بشه. در حالیکه $\{1\}$ زیر مجموعه $X$ هست درحالیکه اندازه پذیر نیست چون در $\mathcal M$ نیست. توجه کنید که $\{1\}$ اندازه پذیر نیست و اصلا ما به مجموعه ای اندازه پذیر میگیم که در $\mathcal M$ باشد.
اینکه میگید $\mathcal M$ اندازه پذیر هست یا نیست نشون میده که تعریف سیگماجبر رو درست نگرفتید. چون ما هر زیرمجموعه ای از $X$ که در $\mathcal M$ باشد رو اندازه پذیر و اگر نباشد رو اندازه ناپذیر میگیم.
دارای دیدگاه توسط بهروز
+1
بسیار بسیار تشکر میکنم از راهنمایی عالیتون.کاملا متوجه شدم. انشالله همیشه سلامت و موفق باشید.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
88 نفر آنلاین
1 عضو و 87 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3681
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4698721
...