چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
55 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Neseli

اگر $ x^{2} + x +1=0 $ باشد $ x^{234} + x^{99} $ چند می شود؟

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط Neseli
 
بهترین پاسخ

توجه کنید که برای هر $i\in\mathbb{I}$ داریم: $$(x^2+x+1)(x^{6i+4}-x{6i+3}+x^{6i+1}-x^{6i})=x^{6i+6}-x^{6i}$$ برای اثبات آن کافیست ضرب را انجام بدهید و ساده‌سازی کنید.

اکنون اگر جمع این ضرب برای اندیس‌های پشت‌سر هم را انجام دهید یک سری تلسکوپی دارید. محاسبات زیر را با ضرب و ساده‌سازی و استفاده از ویژگی تلسکوپی به سادگی می‌توانید بررسی کنید. $$\begin{array}{l}(x^2+x+1)(2\sum_{i=0}^{15}(x^{6i+4}-x{6i+3}+x^{6i+1}-x^{6i}))=2(x^{96}-1)\\ (x^2+x+1)(\sum_{i=16}^{38}(x^{6i+4}-x{6i+3}+x^{6i+1}-x^{6i}))=x^{234}-x^{96}\\ (x^2+x+1)(x^{97}-x^{96})=x^{99}-x^{96}\end{array}$$ جمع سه رابطهٔ بالا می‌شود: $$\begin{array}{l}(x^2+x+1)(2\sum_{i=0}^{15}(x^{6i+4}-x{6i+3}+x^{6i+1}-x^{6i})+\sum_{i=16}^{38}(x^{6i+4}-x{6i+3}+x^{6i+1}-x^{6i})+x^{97}-x^{96})=\\ x^{234}-x^{96}+2x^{96}-2+x^{99}-x^{96}=\\ x^{234}+x^{99}-2\end{array}$$ پس داریم؛ $$x^{234}+x^{99}=(x^2+x+1)p(x)+2$$ که $p(x)$ چندجمله‌ای حاصل از جمع سه عبارتی است که از بالا می‌توانید حدس بزنید. اکنون اگر $x^2+x+1$ مساوی صفر باشد حاصلضرب آن در چیز دیگری نیز صفر می‌شود و در نتیجه از سمت راست برابری پایانی تنها ۲ می‌ماند.

پاسخ ۲ است.

+5 امتیاز
پاسخ داده شده توسط کیوان عباس زاده
$$x^2+x+1=0$$

چون $x \neq 1$ می توان طرفین را در $(x-1)$ ضرب کرد : $$ \Rightarrow (x-1)(x^2+x+1)=0$$ $$x^3-1=0 $$ $$x^3=1$$ $$ \Rightarrow x^{234}+x^{99}=(x^3)^{78}+(x^3)^{33}=1^{78}+1^{33}=2$$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
73 نفر آنلاین
0 عضو و 73 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4763
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4713904
...