چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
2,579 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط eski

فرق بین همگرایی نقطه وار ویکنواخت چیه؟

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

فرق بین این دو نوع همگرایی در درک درست تعریف آنها است.

فرض کنید $ \{ f_n\} $ و $ f$ توابعی حقیقی روی $ X $ باشند. در اینصورت تعاریف زیر را داریم:

همگرایی نقطه‌وار:

$ f_n\to f $ به صورت نقطه‌وار همگراست هرگاه $$\lim_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)\quad \forall x\in X $$ . به عبارت دیگر: $$ \forall x\in X\ \forall\varepsilon>0\ \exists N=N(x,\varepsilon) \ \ s.t. n>N\Rightarrow \vert f_n(x)-f(x)\vert<\varepsilon$$ توجه کنید که $ N $ هم به $x $ و هم $\varepsilon $ بستگی دارد.

به زبان ساده همگرایی نقطه‌وار یعنی برای هر نقطه‌ی $x\in X $ دنباله‌ی $(f_n(x)) $ به $ f(x) $ همگرا باشد.

همگرایی یکنواخت:

$ f_n\to f $ به‌طور یکنواخت هرگاه: $$\lim_{n\to\infty}(\sup_{x\in X}\vert f_n(x)-f(x)\vert)=0 $$

به عبارت دیگر: $$ \forall\varepsilon>0\ \exists N=N(\varepsilon)\ \ s.t.\ \forall x\in X,n>N\Rightarrow \vert f_n(x) -f(x)\vert<\varepsilon$$ توجه کنید که در این حالت $N$ فقط به $ \varepsilon$ بستگی دارد و به $x $ بستگی ندارد. یعنی این $N $ برای هر $ x $ نامساوی بالا را برقرار می کند یعنی $ (f_n(x)) $ برای هر $ x $ با آهنگ یکسانی به $ f(x) $ همگرا است.

در حالت همگرایی نقطه‌وار برای هر $x $ یک $ N $ مخصوص به آن پیدا می‌شود که ممکن است این $N$ برای نقطه‌های دیگر در $ X $ پاسخگو نباشد.

توجه: واضح است که همگرایی یکنواخت همگرایی نقطه‌وار را نتیجه می‌دهد اما عکس این مطلب درست نمی‌باشد.

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط pse
ویرایش شده توسط erfanm

همگرایی یکنواخت $\Leftarrow$ همگرایی نقطه به نقطه $\Leftarrow$ همگرایی تقریبا همه جا همگرایی در ال وان $\Leftarrow$ همگرایی در اندازه همگرایی تقریبا یکنواخت $\Leftarrow$ همکرایی تقریبا همه جا همگرایی تقریبا یکنواخت $\Leftarrow$ همکرایی در اندازه کوشی در اندازه $\Leftrightarrow$ همکرایی در اندازه

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
60 نفر آنلاین
0 عضو و 60 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3629
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687437
...