چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
40 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط af
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

فرض کنید$R=A[ x_{1},..., x_{d}] $ ،و$a=( x_{1},..., x_{d})R= P_{R} (1) $

1) ثابت کنید$ C_{R}( a^{n})= a^{n-1} \backslash a^{n} $ به ازای $n \geq 1$

2)برای هر تک جمله ای $f \in [[R]]$ ، $ C_{R}( P_{R}(f)^{n}) $ رابه دست اورید

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط af
 
بهترین پاسخ

قرار دهید $$I=\langle x_1,\cdots,x_n\rangle$$ در اینصورت می‌توانید برای هر $m$ نشان دهید که توان m اُم این ایده‌آل برابر است با؛ $$I=\langle x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}|a_1+\cdots+a_n=m\rangle $$ گوشه‌های این ایده‌آل‌ها که توان‌های I هستند را برای حالت دو متغیره در شکل زیر می‌بینید.

ادعا می‌کنیم که $$C_R(I^m)=\{x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}|a_1+\cdots+a_n=m-1\}$$ که در واقع تک‌جمله‌ای‌هایی هستند که در $I^{m-1}$ قرار می‌گیرند (چون بوسیلهٔ مولدهای آن تولید می‌شود، در واقع خود مجموعهٔ مولدی از آن که معرفی کرده‌ایم است) اما در $I^m$ قرار نمی‌گیرند چون بوسیلهٔ مولدی که برای آن ارائه دادیم تولید نمی‌شوند.

توجه داشته باشید که توان‌های یک ایده‌آل به گونهٔ کاهشی زیرمجموعهٔ یکدیگرند یعنی $$R=I^0\supseteq I\supseteq I^2\supseteq I^3\supseteq\cdots$$

اکنون اثبات ادعایمان $$\begin{array}{lcl}x_1^{b_1}\cdots x_n^{b_n}\in C_R(I^m) & \Longleftrightarrow & \forall 1\leq i\leq n\;|\;x_1^{b_1}\cdots x_{i-1}^{b_{i-1}}x_i^{b_i+1}x_{i+1}^{b_{i+1}}\cdots x_n^{b_n}\in I^m\\ & \Longleftrightarrow & b_1+\cdots+(b_i+1)+b_{i+1}+\cdots+b_n=m\\ & \Longleftrightarrow & (\sum_{i=1}^nb_i)+1=m\\ & \Longleftrightarrow & \sum_{i=1}^nb_i=m-1\end{array}$$

اکنون ۶.۱.۱ را به یاد آورید که برای یک تک‌جمله‌ای $f=x_1^{c_1}\cdots x_n^{c_n}$ نماد $P_R(f)$ که کتاب مد نظر شما آن را ایده‌آل پارامتری متناظر به تک‌جمله‌ای $f$ می‌نامد را به شکل زیر تعریف می‌کنیم؛ $$P_R(f)=\langle x_1^{c_1+1},\cdots,x_n^{c_n+1}\rangle$$ اکنون توان‌های این ایده‌آل به شکل زیر هستند $$P_R(f)=\langle (x_1^{c_1+1})^{a_1}\cdots(x_n^{c_n+1})^{a_n}|a_1+\cdots+a_n=m\rangle$$ همانند بالا یک تک‌جمله‌ایِ $$ x_1^{b_1}\cdots x_n^{b_n}\in C_R((P_R(f))^m)$$ اگر و تنها اگر بتوان توان‌هایش را به شکل مناسب درآورد $$ x_1^{b_1}\cdots x_{i-1}^{b_{i-1}}x_i^{b_i+1}x_{i+1}^{b_{i+1}}\cdots x_n^{b_n}=(x_1^{c_1+1})^{a_1}\cdots(x_n^{c_n+1})^{a_n} $$ که جمع $a_i$ ها M شود. اما در آنصورت $$ x_1^{b_1}\cdots x_{i-1}^{b_{i-1}}x_i^{b_i}x_{i+1}^{b_{i+1}}\cdots x_n^{b_n}= (x_1^{c_1})^{a_1}\cdots(x_i^{c_i})^{a_i}\cdots(x_n^{c_n})^{a_n}.x_1^{a_1}\cdots x_i^{a_i-1}\cdots x_n^{c_n} $$ یعنی تک‌جمله‌ای‌مان ضربی از تک‌جمله‌ای از $\langle x_1^{c_1},\cdots,x_n^{c_n}\rangle^m $ و تک‌جمله‌ای از $ C_R(I^m) $ است و چون تک‌جمله‌ای‌های عضو حاصلضرب دو ایده‌آل تک‌جمله‌ای برابر با حاصلضرب تک‌جمله‌ای‌های آن دو تک‌جمله‌ای است، ثابت کرده‌ایم که گوشهٔ مورد نظر ما مجموعه مولد ایده‌آل تک‌جمله‌ای حاصلضربی زیر است $$\langle x_1^{c_1},\cdots,x_n^{c_n}\rangle^m C_R(I^m) $$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
62 نفر آنلاین
0 عضو و 62 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1993
بازدید دیروز: 7026
بازدید کل: 4488860
...