چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
260 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط soran

فرض کنید دنباله ی عددی $ \lbrace a_n\rbrace $ چنان است که به ازای هر دنباله ی همگرا به صفر مانند $ \lbrace b_n\rbrace $، سری $ \sum a_n b_n $ مطلقا همگرا است. ثابت کنید سری $ \sum a_n $ مطلقا همگرا است.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

برهان خلف: فرض کنید $\sum |a_n|=\infty$ در اینصورت اگر قرار دهید $b_n=\frac 1{S_n}$ که $S_n=\sum_1^n |a_i|$در اینصورت $\sum |a_nb_n|=\sum \frac{|a_n|}{S_n}=\infty$ که با فرض مساله در تناقض است.

نکته: اگر $\sum a_n=\infty$ و $a_n> 0$ در اینصورت $\sum \frac {a_n}{S_n}=\infty$ که در آن $S_n$ دنباله مجموع های جزیی است.

اثبات نکته: (برهان خلف) فرض کنید $\sum \frac{a_n}{S_n}$ همگرا باشد. پس در شرط کوشی صدق می کند یعنی $$\exists N\in\mathbb N: K\geq 1\implies \frac{a_{N+1}}{S_{N+1}}+...+\frac{a_{N+k}}{S_{N+k}}< \frac 12$$ از طرفی $$\frac{a_{N+1}}{S_{N+1}}+...+\frac{a_{N+k}}{S_{N+k}}\geq \frac{a_{N+1}}{S_{N+K}}+...+\frac{a_{N+k}}{S_{N+k}}=\frac{S_{N+K}-S_N}{S_{N+K}}=1-\frac{S_N}{S_{N+K}}$$

چون $\sum a_n=\infty$ پس $S_n\to \infty$ لذا $\lim_{k\to \infty}S_{N+K}=\infty$ یعنی $\lim_{K\to \infty}\frac{S_N}{S_{N+K}}=0$ پس $$\exists K\in \mathbb N:k\geq K\implies \frac{S_N}{S_{N+K}}< \frac 12\implies \frac{a_{N+1}}{S_{N+1}}+...+\frac{a_{N+k}}{S_{N+k}}> \frac 12$$

که تناقض است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
60 نفر آنلاین
0 عضو و 60 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 337
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709479
...