چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
228 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط zahrad
ویرایش شده توسط AmirHosein

جبر گاوس هر خم نرمال گویا، خمی نرمال گویاست. به فرض $M= \begin{bmatrix} x_{1} & \cdots & x_{n} \\ x_{0} & \cdots & x_{n-1} \end{bmatrix} $ و $A=K \begin{bmatrix}I_{2} \big(M\big)\end{bmatrix} $ . ثابت کنید؛

الف: $dim A=n+1$ .

ب: $G \big(A\big) \cong A $ .

که منظور از $G(A)$، جبر گاوسیِ متناظر به $A$ است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein

هر دو گزاره اشتباه هستند.

روش بررسی بخش (الف) به شکل زیر است؛

نخست توجه کنید که ماتریس شما برای n مساوی با صفر و یک تعریف نمی‌شود. پس باید حدستان را از n مساوی دو شروع به بررسی کنیم.

توجه کنید که تعداد دترمینان‌های دو در دوی ماتریس شما برابر با $\binom{n}{2}$ است. این عدد را t نمایش دهید و چندجمله‌ای حاصل از i امین دترمینان را با $f_i$ نمایش دهید. همریختی $K$-جبری زیر را در نظر بگیرید.

$$\left\{\begin{array}{lcl}\phi: & K[T[1],\cdots,T[t]] & \rightarrow A\\ & T[i] & \mapsto f_i\end{array}\right.$$ این همریختی آشکارا پوشا است (بنا به تعریف $K$-جبر $A$). هستهٔ این همریختی را بیابید، اگر آن را با $\ker\phi$ نمایش دهید آنگاه چون $\frac{K[T[1],\cdots,T[t]]}{\ker\phi}\cong A$ بعد آنها نیز با یکدیگر برابر می‌شود. برای یافتن این هسته نیز کافیست پایهٔ گروبنری برای ایده‌آل $$\langle T[i]-f_i\;|\;1\leq i\leq t\rangle$$ به عنوان ایده‌آلی در حلقهٔ $K[x[0],\cdots,x[n],T[1],\cdots,T[t]]$ با ترتیب واژه‌نامه‌ای با ارزش‌گذاری‌ای که $x[i]$ها اولویتبر $T[j]$ها داشته باشند بیابید و چندجمله‌ای‌هایی که تنها $T[j]$ها را دارند را بردارید، مجموعهٔ حاصل یک پایهٔ گروبنر برای هسته‌مان است.

در حالت $n=2$ داریم $t=1$ ، در حالت $n=3$ داریم $t=3$ . در هر دو حالت هستهٔ شما صفر می‌شود و در نتجه $A$ در حالت یکم یگریخت با حلقهٔ چندجمله‌ای‌ها با یک متغیر و در حالت دوم یکریخت با حلقهٔ چندجمله‌ای‌ها با سه متغیر می‌شود که به ترتیب بعدشان برابر با یک و سه است در حالی که $n+1$ در حالت یکم برابر با سه و در حالت دوم برابر با چهار است!

اکنون برای بخش (ب) نخست تعریف جبر گاوسی را یادآور می‌شویم. اگر شما در حلقهٔ چندجمله‌ای‌ها با $m$ متغیر باشید و دست کم $m$ چندجمله‌ای بردارید که همگی در مبدأ صفر شوند (به فرض تعدادشان k است) و ماتریس ژاکوبی آنها را تشکیل دهید یعنی یک ماتریس $m\times k$ که درایهٔ $(i,j)$-اُم آن چندجمله‌ای حاصل از مشتق پاره‌ای (جزئی) چندجمله‌ای i ام نسبت به متغیر j ام باشد. آنگاه دترمینان‌های $m\times m$ آن را بردارید و همان‌گونه که $A$ را ساخته‌اید با افزودن این عنصرها به K یک K-جبر جدید به نام جبر گاوسی متناظر به این مجموعه چندجمله‌ای بسازید. اگر A جبر تولید شده بوسیلهٔ افزوده شدن آن k چندجمله‌ای اولیه بوده باشد آنگاه جبر گاوسی ساخته شده را جبر گاوسی متناظر به A نیز می‌گوئیم.

نکتهٔ یکم! باید تعداد چندجمله‌ای‌ها بزرگتر یا مساوی تعداد متغیرهایتان باشند! در اینجا شما $n+1$ متغیر دارید و t چندجمله‌ای. برای n های کمتر از ۴ اصلا جبر گاوسی برای A تعریف نمی‌شود. برای n مساوی ۵، شما ۶ متغیر دارید و در عین حال ۶ چندجمله‌ای (t شش می‌شود) بنابراین یک ماتریس مربعی ۶ در ۶ دارید و تنها یک دترمینان یعنی یک چندجمله‌ای که اگر چندجمله‌ای ثابت اسکالری نباشد آنگاه بعد K جبر تولید شده بوسیلهٔ افزودن آن یک عنصر به K بعدش یک می‌شود و برابر بعد A نمی‌شود که بخواهد با آن یکریخت هم بشود! تنها از قضیه‌ای از مقالهٔ آقای بروماتی و دو مؤلف دیگر ـکه یکی‌شان آرون سیمیس است) می‌توانید بگوئید این جبر گاوسی در A نشانده می‌شود و نه یکریختی! همان‌گونه که می‌بینید برای اولین مقدار n ای که این جبر گاوسی قابل تعریف است نشانده‌شدن سره روی می‌دهد و یکریختی رخ نمی‌دهد.

دارای دیدگاه توسط zahrad
+1
از دقت بالای شما متشکروم واین بهترین پاسخ و با لا ترین امتیاز را به خود می گیرد. با تشکر از اینکه وقت گذاشتید.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
65 نفر آنلاین
0 عضو و 65 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1989
بازدید دیروز: 7026
بازدید کل: 4488856
...