به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
274 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط zahrad
ویرایش شده توسط AmirHosein

جبر گاوس هر خم نرمال گویا، خمی نرمال گویاست. به فرض $M= \begin{bmatrix} x_{1} & \cdots & x_{n} \\ x_{0} & \cdots & x_{n-1} \end{bmatrix} $ و $A=K \begin{bmatrix}I_{2} \big(M\big)\end{bmatrix} $ . ثابت کنید؛

الف: $dim A=n+1$ .

ب: $G \big(A\big) \cong A $ .

که منظور از $G(A)$، جبر گاوسیِ متناظر به $A$ است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein

هر دو گزاره اشتباه هستند.

روش بررسی بخش (الف) به شکل زیر است؛

نخست توجه کنید که ماتریس شما برای n مساوی با صفر و یک تعریف نمی‌شود. پس باید حدستان را از n مساوی دو شروع به بررسی کنیم.

توجه کنید که تعداد دترمینان‌های دو در دوی ماتریس شما برابر با $\binom{n}{2}$ است. این عدد را t نمایش دهید و چندجمله‌ای حاصل از i امین دترمینان را با $f_i$ نمایش دهید. همریختی $K$-جبری زیر را در نظر بگیرید.

$$\left\{\begin{array}{lcl}\phi: & K[T[1],\cdots,T[t]] & \rightarrow A\\ & T[i] & \mapsto f_i\end{array}\right.$$ این همریختی آشکارا پوشا است (بنا به تعریف $K$-جبر $A$). هستهٔ این همریختی را بیابید، اگر آن را با $\ker\phi$ نمایش دهید آنگاه چون $\frac{K[T[1],\cdots,T[t]]}{\ker\phi}\cong A$ بعد آنها نیز با یکدیگر برابر می‌شود. برای یافتن این هسته نیز کافیست پایهٔ گروبنری برای ایده‌آل $$\langle T[i]-f_i\;|\;1\leq i\leq t\rangle$$ به عنوان ایده‌آلی در حلقهٔ $K[x[0],\cdots,x[n],T[1],\cdots,T[t]]$ با ترتیب واژه‌نامه‌ای با ارزش‌گذاری‌ای که $x[i]$ها اولویتبر $T[j]$ها داشته باشند بیابید و چندجمله‌ای‌هایی که تنها $T[j]$ها را دارند را بردارید، مجموعهٔ حاصل یک پایهٔ گروبنر برای هسته‌مان است.

در حالت $n=2$ داریم $t=1$ ، در حالت $n=3$ داریم $t=3$ . در هر دو حالت هستهٔ شما صفر می‌شود و در نتجه $A$ در حالت یکم یگریخت با حلقهٔ چندجمله‌ای‌ها با یک متغیر و در حالت دوم یکریخت با حلقهٔ چندجمله‌ای‌ها با سه متغیر می‌شود که به ترتیب بعدشان برابر با یک و سه است در حالی که $n+1$ در حالت یکم برابر با سه و در حالت دوم برابر با چهار است!

اکنون برای بخش (ب) نخست تعریف جبر گاوسی را یادآور می‌شویم. اگر شما در حلقهٔ چندجمله‌ای‌ها با $m$ متغیر باشید و دست کم $m$ چندجمله‌ای بردارید که همگی در مبدأ صفر شوند (به فرض تعدادشان k است) و ماتریس ژاکوبی آنها را تشکیل دهید یعنی یک ماتریس $m\times k$ که درایهٔ $(i,j)$-اُم آن چندجمله‌ای حاصل از مشتق پاره‌ای (جزئی) چندجمله‌ای i ام نسبت به متغیر j ام باشد. آنگاه دترمینان‌های $m\times m$ آن را بردارید و همان‌گونه که $A$ را ساخته‌اید با افزودن این عنصرها به K یک K-جبر جدید به نام جبر گاوسی متناظر به این مجموعه چندجمله‌ای بسازید. اگر A جبر تولید شده بوسیلهٔ افزوده شدن آن k چندجمله‌ای اولیه بوده باشد آنگاه جبر گاوسی ساخته شده را جبر گاوسی متناظر به A نیز می‌گوئیم.

نکتهٔ یکم! باید تعداد چندجمله‌ای‌ها بزرگتر یا مساوی تعداد متغیرهایتان باشند! در اینجا شما $n+1$ متغیر دارید و t چندجمله‌ای. برای n های کمتر از ۴ اصلا جبر گاوسی برای A تعریف نمی‌شود. برای n مساوی ۵، شما ۶ متغیر دارید و در عین حال ۶ چندجمله‌ای (t شش می‌شود) بنابراین یک ماتریس مربعی ۶ در ۶ دارید و تنها یک دترمینان یعنی یک چندجمله‌ای که اگر چندجمله‌ای ثابت اسکالری نباشد آنگاه بعد K جبر تولید شده بوسیلهٔ افزودن آن یک عنصر به K بعدش یک می‌شود و برابر بعد A نمی‌شود که بخواهد با آن یکریخت هم بشود! تنها از قضیه‌ای از مقالهٔ آقای بروماتی و دو مؤلف دیگر ـکه یکی‌شان آرون سیمیس است) می‌توانید بگوئید این جبر گاوسی در A نشانده می‌شود و نه یکریختی! همان‌گونه که می‌بینید برای اولین مقدار n ای که این جبر گاوسی قابل تعریف است نشانده‌شدن سره روی می‌دهد و یکریختی رخ نمی‌دهد.

دارای دیدگاه توسط zahrad
+1
از دقت بالای شما متشکروم واین بهترین پاسخ و با لا ترین امتیاز را به خود می گیرد. با تشکر از اینکه وقت گذاشتید.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...