چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
254 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط kazomano
ویرایش شده توسط kazomano

با استفاده از فرمول دو نقطه ای گاوس لاگر نشان دهید که

$ \int_0^ \infty \frac{ e^{-x} }{x+a}dx= \frac{a+3}{ a^{2} +4a+2} + \frac{4 \Theta }{ a^{5} } $$ 0< \Theta <1,a>0 $

مرجع: . صفحه 436 سوال هفدهintroduction numerical analysis --hildebrand

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

در این سوال $f(x)= \frac{1}{x+a} $ و $n=2 $ پس :

$\int_0^ \infty e^{-x} f(x)dx= w_{1}f( x_{1} )+w_{2}f( x_{2} ) $ که در آن $ x_{i} $ ریشه های چند جمله ای لاگر یعنی $ \frac{1}{2} ( x^{2} -4x +2) $ هستند که برابر است با $ 2+ \sqrt{2} $و $2- \sqrt{2} $ همچنین: $ w_{1} = \frac{2- \sqrt{2}}{4(3-2 \sqrt{2}) }= \frac{2+ \sqrt{2}}{4} $ و $ w_{2} = \frac{2+ \sqrt{2}}{4(3+2 \sqrt{2}) } =\frac{2- \sqrt{2}}{4}$ حال با جایگذاری داریم: $$ w_{1}f( x_{1} )= \frac{2+ \sqrt{2}}{4} \times \frac{1}{2+a- \sqrt{2} }= \frac{(2+\sqrt{2})(2+ \sqrt{2}+a)}{4( a^2+4a+2) } $$ $$=\frac{6+2 \sqrt{2}+2a+a \sqrt{2}}{4( a^2+4a+2) } $$

$$ w_{2}f( x_{2} )= \frac{2- \sqrt{2}}{4} \times \frac{1}{2+a+ \sqrt{2} }= \frac{(2-\sqrt{2})(2- \sqrt{2}+a)}{ 4(a^2+4a+2) } $$ $$=\frac{6-2 \sqrt{2}+2a-a \sqrt{2}}{4( a^2+4a+2) } $$

پس در کل داریم:

$$\int_0^ \infty e^{-x} f(x)dx= w_{1}f( x_{1} )+w_{2}f( x_{2} ) = \frac{12+4a}{4( a^2+4a+2) } = \frac{3+a}{a^2+4a+2} $$

$E$ از رابطه ی $ \frac{ f^{iv}( \theta ) }{6} $ بدست می آید پس داریم: $$ f' = \frac{-1}{ (x+a)^{2} } $$ $$ \vdots $$ $$f^{iv}= \frac{24}{(x+a)^{5} } $$

دارای دیدگاه توسط kazomano
+1
فرمول خطایی که نوشتین تتا بین صفر و بی نهایته ولی صورت سوال تتایی بین صفر و یک مدنظرشه
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
41 نفر آنلاین
0 عضو و 41 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 586
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4695626
...