به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
278 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط kazomano
ویرایش شده توسط kazomano

با استفاده از فرمول دو نقطه ای گاوس لاگر نشان دهید که

$ \int_0^ \infty \frac{ e^{-x} }{x+a}dx= \frac{a+3}{ a^{2} +4a+2} + \frac{4 \Theta }{ a^{5} } $$ 0< \Theta <1,a>0 $

مرجع: . صفحه 436 سوال هفدهintroduction numerical analysis --hildebrand

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

در این سوال $f(x)= \frac{1}{x+a} $ و $n=2 $ پس :

$\int_0^ \infty e^{-x} f(x)dx= w_{1}f( x_{1} )+w_{2}f( x_{2} ) $ که در آن $ x_{i} $ ریشه های چند جمله ای لاگر یعنی $ \frac{1}{2} ( x^{2} -4x +2) $ هستند که برابر است با $ 2+ \sqrt{2} $و $2- \sqrt{2} $ همچنین: $ w_{1} = \frac{2- \sqrt{2}}{4(3-2 \sqrt{2}) }= \frac{2+ \sqrt{2}}{4} $ و $ w_{2} = \frac{2+ \sqrt{2}}{4(3+2 \sqrt{2}) } =\frac{2- \sqrt{2}}{4}$ حال با جایگذاری داریم: $$ w_{1}f( x_{1} )= \frac{2+ \sqrt{2}}{4} \times \frac{1}{2+a- \sqrt{2} }= \frac{(2+\sqrt{2})(2+ \sqrt{2}+a)}{4( a^2+4a+2) } $$ $$=\frac{6+2 \sqrt{2}+2a+a \sqrt{2}}{4( a^2+4a+2) } $$

$$ w_{2}f( x_{2} )= \frac{2- \sqrt{2}}{4} \times \frac{1}{2+a+ \sqrt{2} }= \frac{(2-\sqrt{2})(2- \sqrt{2}+a)}{ 4(a^2+4a+2) } $$ $$=\frac{6-2 \sqrt{2}+2a-a \sqrt{2}}{4( a^2+4a+2) } $$

پس در کل داریم:

$$\int_0^ \infty e^{-x} f(x)dx= w_{1}f( x_{1} )+w_{2}f( x_{2} ) = \frac{12+4a}{4( a^2+4a+2) } = \frac{3+a}{a^2+4a+2} $$

$E$ از رابطه ی $ \frac{ f^{iv}( \theta ) }{6} $ بدست می آید پس داریم: $$ f' = \frac{-1}{ (x+a)^{2} } $$ $$ \vdots $$ $$f^{iv}= \frac{24}{(x+a)^{5} } $$

دارای دیدگاه توسط kazomano
+1
فرمول خطایی که نوشتین تتا بین صفر و بی نهایته ولی صورت سوال تتایی بین صفر و یک مدنظرشه
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
34 نفر آنلاین
0 عضو و 34 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 766
بازدید دیروز: 6156
بازدید کل: 5031155
...