به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
117 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط kazomano
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

ثابت کنید

$ \lim_{n \rightarrow \infty } ( \frac{ \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} }{2} )^{n}= \sqrt{ab} $

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano

تابع $f(x)= a^{x} $ را در نظر می گیریم آن گاه $ f'(x)=a^{x}loga$و $ f'(0)=loga$ بنابراین داریم


$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{f( \frac{1}{n} )-f(0)}{ \frac{1}{n} } = \lim_{n \rightarrow b} n( \sqrt[n]{a} -1)=loga$

حال قرار می دهیم $ x_{n} =n[ \frac{ \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} }{2} -1]= \frac{1}{2} [n (\sqrt[n]{a} -1)+n( \sqrt[n]{b} -1)$


بدیهی است که $ x_{n} \rightarrow \frac{1}{2} (loga+logb)=log \sqrt{ab} $بنابراین با توجه به اینکه $ \frac{ \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} }{2}=1+ \frac{ x_{n} }{n} $ داریم


$ [1+ \frac{ x_{n} }{n}] ^{n}= \lbrace [1+ \frac{ x_{n} }{n} ]^{ \frac{n}{ x_{n} } } \rbrace ^{ x_{n} } \rightarrow e^{log \sqrt{ab} } = \sqrt{ab} $
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
53 نفر آنلاین
0 عضو و 53 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2703
بازدید دیروز: 4918
بازدید کل: 4998278
...