به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
453 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Neseli
ویرایش شده توسط fardina

اگر $a+b+c=12$ حداکثر مقدار $ab+ac+bc $ چقدر است؟ $$ (a+b+c)^{2}= \frac{1}{2} \lbrace (a-b)^{2} + (b-c)^{2} + (c-a)^{2}\rbrace + 3(ab+bc+ac)$$

دارای دیدگاه توسط fardina
+2
منظورتون حداکثر مقدار $ab+ac+bc$ هست. جمله آخر رو نوشتید $ba$ لطفا ویرایش کنید.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط farhad
انتخاب شده توسط Neseli
 
بهترین پاسخ

با توجه به اتحاد فوق اگر $a,b,c$ را چنان انتخاب کنیم که:

$$ P=(a-b)^{2}+ (b-c)^{2}+ (c-a)^{2} $$

کمترین مقدار حاصل شود آنگاه $ \,\,ab+ac+bc\,\, $ بیشترین مقدار خواهد بود. چون $\,\,P \geq 0\,\,$ و اگر $\,\,a=b=c\,\,$ آن گاه $\,\,P=0\,\,$ پس کمترین مقدار $\,\,P\,\,$ زمانی حاصل می شود که $\,\,a=b=c\,\,$ از طرفی $\,\,a+b+c=12\,\,$ پس $a=b=c=4$ بنابراین جواب مسأله برابر است با: $$ ab+ac+bc=16+16+16=48 $$

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...