به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
225 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Neseli
ویرایش شده توسط fardina

اگر $ a^{2} + b^{2} +ab= b-a-1$ ثابت کنید $a^{101} + b^{101} =0$

دارای دیدگاه توسط fardina
+2
لطفا عنوان مناسب انتخاب کنید. فکر نکنم "اثبات کنید" عنوان خوبی باشه. و در ضمن تلاش خودتونو در مورد مساله بنویسید.

3 پاسخ

+5 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط Neseli
 
بهترین پاسخ

با توجه به فرض مساله داریم $$(a+b)^2=(a+1)(b-1)$$

اما از نامساوی $xy\leq (\frac {x+y}2)^2$ که برای هر $x,y$ حقیقی برقرار است داریم:

$$(a+b)^2\leq \left(\frac{(a+1)+(b-1)}{2}\right)^2=\frac{(a+b)^2}{4}$$

که این فقط وقتی درست است که $a+b=0$ یعنی $a=-b$ .

و اگر در معادله بالا $a=-b$ را جایگذاری کنیم به دست می آوریم: $a=-1,b=1$

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
نمایش از نو توسط fardina
+1
چرا برای $a$ و $b$ مقدار بدست آورده‌اید؟ پس از جایگذاری $a=-b$ در $a^{101}+b^{101}$ به صفر می‌رسید که اثبات را کامل می‌کند.
دارای دیدگاه توسط fardina
@AmirHosein
راستش اولش تا اینجا نوشتم که $a=-b$
بعدش خواستم بگم که روش منم a و b رو به دست میده دیگه ویرایش کردم و اضافه کردم :)
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@fardina بلی، دقیقا چند ثانیه پس از نوشتن دیدگاهم متوجه شدم که آن‌را مخفی کردم ههههه
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط farhad

در این مسأله شرط حقیقی بودن اعداد $a$ و $b$ لازم است چون در ادامه ثابت می کنیم که این گزاره برای اعداد مختلط همیشه درست نیست. پس فرض می کنیم $a,b \in R$ هستند. داریم:

$$ a^{2}+ b^{2}+ab=b-a-1\,\, \rightarrow$$ $$ a^{2}+ b^{2}+ab-b+a+1=0\,\, \rightarrow$$ $$ a^{2}+(b+1)a+b^{2}-b+1=0\,\, \rightarrow$$ $$ a= \frac{-(b+1) \pm \sqrt{ b^{2}+2b+1-4b^{2}+4b-4 } }{2} \,\, \rightarrow$$ $$ a= \frac{-(b+1) \pm |b-1|i\sqrt{3} }{2} \,\, \rightarrow$$ $$ b-1=0 \,\, \rightarrow \,\,b=1\,\, \rightarrow \,\,a=-1 $$ پس:

$$ a^{101}+ b^{101}=-1+1=0 $$

پس اگر $a,b$ اعداد حقیقی باشند، گزاره برقرار است.

ثابت می کنیم، گزاره برای هر عدد (مجموعه اعداد مختلط) همیشه برقرار نیست. فرض می کنیم$\,\,b=0\,\,$ پس $\,\,a= \frac{-1 \pm i \sqrt{3} }{2}\,\, $ که در این صورت داریم:

$$ a^{101}+ b^{101}= ( \frac{-1 \pm i \sqrt{3} }{2})^{101}+ 0 $$

و عبارت سمت چپ در تساوی بالا وقتی برابر صفر است که $ \pm i \sqrt{3}=1 $ که تناقض است.

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط good4us

enter image description here

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
39 نفر آنلاین
1 عضو و 38 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3916
بازدید دیروز: 4859
بازدید کل: 4862547
...