چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
190 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

ثابت کنید چنانچه $f:[a,b] \to \mathbb R$ یک به یک و دارای خاصیت مقدار میانی باشد آنگاه اکیدا یکنواست.

خاصیت مقدار میانی: به ازای هر $\lambda$ بین $f(a),f(b)$ یک $c\in (a,b)$ موجود باشد که $f(c)=\lambda$.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنیم اینگونه نباشد.پس باید برای هر $x,y,z$ در دامنه که $x < y< z$ داشته باشیم

$f(x)< f(y),f(y)>f(z)$ یا $ f(x)>f(y),f(y)< f(z) $.نشان می دهیم هر دو حالت به

تناقض منجر می شود.فرض کنیم اولین حالت برقرار باشد دو حالت وجود دارد یا $f(x)>f(z)$ یا

$f(x)< f(z)$.فرض کنیم $f(x)>f(z)$.پس $f(y)< f(x)< f(z)$

و بنا به خاصیت مقدار میانی وجود دارد $t \in [y,z]$ به طوری که

$f(t)=f(x)$.حال چون تابع یک به یک است پس $t=x$ اما

$x< y,t>y$ و این تناقض است. از طرفی به دلیل یک به یک بودن $f(x) \neq f(z)$ پس باید $f(z)>f(x)$ باشد.پس داریم

$f(x)< f(z)< f(y)$ و بنا به خاصیت مقدار میانی وجود دارد $s \in [x,y]$ به

طوری که $f(s)=f(z)$ و به دلیل یک به یک بودن $s=z$ ولی

$z>y$

و $s< y$ و این تناقض است.پس حالت اول رخ نمی دهد.حالت دوم به طور مشابه به تناقض منجر

می شود.این جمیع تناقضات نشان می دهد که تابع اکیدا یکنواست

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
63 نفر آنلاین
0 عضو و 63 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4488
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4699528
...