به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
167 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط حیدری
ویرایش شده توسط AmirHosein

چرا یک میدان متناهی $ p^{n} $ عضو دارد که در این‌جا $p$ یک عدد اول است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

اگر سرشت‌نمای (مشخصهٔ) میدانتان صفر باشد آنگاه میدان اعداد گویا را می‌توانید در آن بنشانید که نامتناهی بودن میدانتان را نیز نتیجه می‌دهد.

پس اگر میدانی متناهی باشد حتما سرشت‌نمایش ناصفر است. می‌دانید که سرشت‌نماهای ناصفر تنها می‌توانند اعداد اول باشند. پس فرض کنید سرشت‌نمای میدانتان عددی اول مانند $p$ است.

پس $\bar{Z}_p$ در آن نشانده می‌شود. اگر میدانتان خود $\bar{Z}_p$ باشد که کار تمام است. اگر نبود یک عنصر دلخواه خارج از آن بردارید چون میدانتان توسیعی از $\bar{Z}_p$ است دو حالت داریم یا عنصرتان بر روی آن متعالی است یا جبری. اگر متعالی باشد آنگاه میدان $\bar{Z}_p(x)$ در میدانتان می‌نشیند که نامتناهی بودنش را می‌رساند. پس عنصرتان حتما باید جبری باشد. درجهٔ چندجمله‌ای کمینش را بردارید، به فرض $n_1$ بود. آنگاه زیرمیدان تولید شده با $\bar{Z}_p$ و $x$ از میدانتان یک فضای برداری از بعد $n_1$ روی $\bar{Z}_p$ می‌ٔشود. اگر کل میدانتان همین بود که هیچ اگر نه همین روند عنصرگیری را ادامه دهید و درجهٔ توسیع بر روی مرحلهٔ قبل را بیابید. با توجه به قضیهٔ برج‌ها برای توسیع‌های میدانی میدانتان یک فضای برداری روی $\bar{Z}_p$ با بعد $n_1\ldots n_m$ می‌شود که $m$ تعداد مرحله‌های لازم است. اگر در متناهی مرتبه به پایان نرسید آنگاه تعداد عناصر میدانتان نامتناهی خواهد بود پس باید در متناهی مرحله به پایان برسید. درنتیجه $m$ متناهی است و به دنبال آن $n:=n_1\ldots n_m$ متناهی می‌شود. اکنون تعداد عناصر میدانتان برابر است با $p^n$.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...