چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
106 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط janmohammadiali
ویرایش شده توسط fardina

تابع $ \mu $ را روی $ \sigma $ جبر $S$ از زیر مجموعه های $X$ را متناهی جمعی گوییم هرگاه برای هر زیر مجموعه متناهی $E_{1} $ و .... و $ E_{n} $ از $S $ ، داشته باشیم $ \mu ( \bigcup_1^n E_{k} )= \sum_1^n \mu ( E_{k} ) $ تابع متناهی جمعی ، نامنفی و متناهی را روی $ \sigma $ جبر$ S $در نظر می گیریم . ثابت کنید $ \mu $ یک اندازه است اگر و تنها اگر برای هر دنباله نزولی $ \big\{ A_{n} \big\} $ از اعضای $S$ که اشتراک آنها تهی است ، دنباله $ \big\{ \mu(A_{n} )\big\} $ به صفر همگرا می باشد .

دارای دیدگاه توسط admin
+1
رو مساله فکر کردید خودتون؟
لطفا تلاشتون برای حلش رو بنویسید.
و راهنمایی بگیرید.
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
یعنی چی اشتراک آنها تهی است؟یعنی $\cap_{n =1}^\infty A_n=\emptyset$?

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

قرار دهید $A=\bigcup_1^\infty A_n $ و $ B_n=A\setminus \bigcup_1^n A_n $ . در اینصورت $B_n $ ها نزولی و اشتراکشان تهی است(چرا؟)

حال بنابر فرض مساله و از متناهی بودن اندازه داریم: $$ 0=\lim_{n\to\infty}\mu(B_n)= \mu(A)-\lim_{n\to\infty}(\mu(\bigcup_1^n A_n))$$

و از اینجا هم داریم: $$\mu(A)=\lim_{n\to\infty}\mu(\bigcup_1^n A_n)=\lim_{n\to\infty}\sum_1^n\mu(A_n)=\sum_1^\infty \mu(A_n) $$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
46 نفر آنلاین
1 عضو و 45 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3492
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687300
...