چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+4 امتیاز
152 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط مرادی
ویرایش شده توسط AmirHosein

چرا در حلقه چندجمله‌ای $R = K[x, y, z]$، دنباله $y(1 - x), z(1 - x), x$ $R$-رشته منظم نیست؟

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
به نظر من $\{x,y(1-x),z(1-x)\}$ یا حتی با ترتیب $\{x,z(1-x),y(1-x)\}$ در $k[x,y,z]$ یک دنبالهٔ منظم است.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط مرادی
 
بهترین پاسخ

در یک $R$-مدول $M$، یک دنبالهٔ ${a_1,\cdots,a_n}$ را می‌گوئیم منظم است اگر برای هر $1\leq i\leq n$ هیچ عنصر ناصفری در مدول خارج‌قسمتی $\dfrac{M}{\langle a_1\cdots,a_{i-1}\rangle M}$ (در حالت $i=1$، قرار دهید $\langle a_1,\cdots,a_0\rangle={0}$ ) یافت نشود که حاصلضرب $a_i$ در آن صفر این مدولی خارج‌قسمتی شود. به یاد آورید که برای یک ایده‌آل $I$ از $R$ زیرمدول $IM$ برابر بود با $$\{r_1m_1+\cdots+r_nm_n|n\in\mathbb{N},\forall 1\leq i\leq n\;:\;r_i\in I,m_i\in M\}$$

اکنون به سراغ پرسش کنونی برویم. توجه کنید که می‌گوئیم دنبالهٔ منظم! دنباله دارای ترتیب برای عناصرش است! پس اگر جای عنصری در آن عوض شود یک دنبالهٔ دیگر داریم.

نخست ثابت می‌کنیم که بر خلاف آنچه در صورت پرسش آمده‌است، دنبالهٔ $\{x,y(1-x),z(1-x)\}$ در حلقهٔ $R=k[x,y,z]$ که روی خودش یک مدول نیز است، دنباله‌ای منظم است.

روشن است که ضرب $x$ در هیچ عضو ناصفری از $\dfrac{k[x,y,z]}{{0}}\cong k[x,y,z]$ صفر نمی‌شود پس تا اینجا مشکلی نیست.

اکنون توجه کنید که برای یک ایده‌آل $I$ از حلقهٔ $R$ داریم $IR=I$.

گام پسین: $\dfrac{k[x,y,z]}{\langle x\rangle}\cong k[y,z]$، در واقع هر عنصر ناصفر این حلقهٔ خارج قسمتی ردهٔ هم‌ارزی است از چندجمله‌ای‌ها که در آن رده می‌توان نماینده‌ای فاقد متغیر $x$ یافت. فرض کنیم $f$ یک چندجمله‌ای فاقد $x$ باشد. $y(1-x)f=yf-xyf$ که $(yf-xyf)+\langle x\rangle=yf+\langle x\rangle$ چون $xyf\in\langle x\rangle$ و $yf$ خالی از $x$ است پس ساده‌تر شدنی نیست و در ضمن اگر $f$ ناصفر باشد، $yf$ نیز ناصفر خواهدبود. پس تا یانجا نیز مشکلی نیست.

گام پایانی: $$\langle x,y(1-x)\rangle=\langle x,y-xy\rangle=\langle x,y\rangle$$ پس با حلقهٔ خارج‌قسمتی $\dfrac{k[x,y,z]}{\langle x,y\rangle}\cong k[z]$ سر و کار داریم. $f$ را چندجمله‌ای خالی از $x$ و $y$ بردارید. $z(1-x)f=zf-xzf$ و به $zf$ ساده می‌شود که اگر $f$ ناصفر باشد، $zf$ نیز ناصفر است. پس تا پایان مشکلی پیش نیامد و در نتیجه $\{x,y(1-x),z(1-x)\}$ دنباله‌ای منظم است. با روش یکسان و بنا به تقارن $\{x,z(1-x),y(1-x)\}$ نیز دنباله‌ای منظم است.

اما توجه کنید که $\{y(1-x),z(1-x),x\}$ دنباله‌ای منظم نیست. گام نخست مشکلی ندارد ولی در گام دوم توجه کنید که $y$ عنصری ناصفر در $\dfrac{k[x,y,z]}{\langle y(1-x)\rangle}$ است چون به ایده‌آل $\langle y(1-x)\rangle$ تعلق ندارد. ولی دست برقضا $z(1-x).y=y(1-x).z\in\langle y(1-x)\rangle$ پس حاصلضرب آن در $z(1-x)$ در این حلقهٔ خارج‌قسمتی صفر می‌شود!

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
85 نفر آنلاین
1 عضو و 84 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3617
بازدید دیروز: 8256
بازدید کل: 4498740
...