چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
158 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط A Math L

اگر $x+y+z=2$ و $xy+yz+zx=1$ باشد :

ثابت کنید هر 3 عدد متعلق به بازه [ 0 ,$\frac{4}{3}$] هستند .

راهنمایی : با جایگذاری نتیجه بگیرید $(y-1)^2=xz$ ، این تساوی نشان میدهد $x$ و $z$ هم علامتند به همین صورت میتوانیم نشان دهیم هر 3 عدد هم علامتند . پس هر 3 مثبتند . با جایگذاری مناسب یک متغیر و در نظر گرفتن دلتای یک معادله ی درجه 2 نشان دهید هر 3 کوچکتر از $ \frac{4}{3} $ هستند.

قسمت دوم راهنمایی رو متوجه نمیشم .

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
چرا می‌توانید نتیجه بگیرید که y نیز مثبت است؟! به طور قطع از روی برابری $(y-1)^2=xz$ به تنهایی نتیجه نمی‌شود.
دارای دیدگاه توسط A Math L
وقتی نتیجه بگیریم هر 3 هم علامتند از آنجا که جمعشون برابر 2 شده میشه نتیجه گرفت هر 3 مثبتند یا یکیشون برابر صفر هست.
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
خب منظور من را نگرفتید.
تا اینجا که حاصلضرب xz باید مثبت شود تازه با فرض اینکه y مخالف یک باشد (پس باید نخست بیایید حالت $y=1$ را جداگانه بحث کنید و بگویید در این حالت یکی از x و z باید یک و دیگری صفر باشد که سه عدد یک و یک و صفر متعلق به بازهٔ یاد شده هستند و سپس بگویید حالا با فرض اینکه y یک نیست ادامه می‌دهم)، را قبول داریم چون اگر y یک نباشد، $(y-1)^2$ مثبت می‌شود. حالا از اینجا فقط و فقط می‌توانید نتیجه بگیرید که x و z هم‌علامت هستند. چگونه از $(y-1)^2=xz$ نتیجه می‌گیرید که y هم با x و z هم‌علامت است؟ اینجا باید چیز دیگری نیز استفاده کنید و گر نه یک‌ضرب و به همین راحتی نمی‌توانید ادعا کنید هر سه با هم هم‌علامت هستند.
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
خب پاسخ پرسشم را خودم گرفتم. چون این رابطهٔ $(y-1)^2=xz$ را با کمک دو رابطهٔ متقارن نسبت به متغیرها بدست‌آورده‌ایم پس همسان آن را می‌توان برای دو جایگشت دیگر از متغیرها نیز بنویسیم که یکی از آنها می‌شود $(z-1)^2=yx$ پس y و x نیز هم‌علامت هستند که اگر آن را کنار یافتهٔ پیشینمان بگذاریم هر سه هم‌علامت می‌شوند.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano
انتخاب شده توسط A Math L
 
بهترین پاسخ

معادله اول را به توان دو می رسانیم داریم

$ (x+y+z)^{2}= x^{2} + y^{2} + z^{2} +2xy+2xz+2yz $

پس

$4=x^{2} + y^{2} + z^{2}+2$

درنتیجه

$ x^{2} + y^{2} + z^{2}=2 $

از طرفی معادلات اول و دوم را می توان به فرم زیر نوشت

$y+z=2-x$

$yz+x(y+z)=1$

پس $yz=1-x(2-x)=1-2x+ x^{2}= (x-1)^{2} $ از طرفی بنا به نامساوی واسطه ها داریم $y+z \geq 2 \sqrt{yz} $ پس $2-x \geq 2 \sqrt{yz} $ یعنی $ (2-x)^{2} \geq4yz $ پس $4 (x-1)^{2} \leq 4-4x+ x^{2} $ بنابراین $3 x^{2} -4x \leq 0$ پس $x \in [0, \frac{4}{3} ]$ به همین ترتیب مابقی ثابت می شود.در ضمن از مراحل راه حل معلوم است که متغیرها مثبت اند و استفاده از نامساوی واسطه ها بلااشکال است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
65 نفر آنلاین
0 عضو و 65 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2385
بازدید دیروز: 5078
بازدید کل: 4673844
...