به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
63 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط behruz

تعدادی قو در آسمان در حال پرواز هستند. هر دفعه نصف آن ها و همچنین نصف یک قو بر روی دریاچه ای می نشینند. اگر همه آنها بر روی هفت دریاچه بنشینند درکل چند قو در آسمان در پرواز بوده اند؟

مرجع: مرشد ریاضی هفتم

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

این که نصف یک تعداد صحیح قو و یک نصفه بر روی دریاچه نشسته‌اند یعنی نصف قوها یک عدد صحیح بعلاوهٔ نیم بوده‌است که نیم‌تای دیگر برای واقعی شدن نیاز داشته‌است. در واقع اگر یک تعداد فرد مانند $2n+1$ قو داشته‌باشید آنگاه برای اینکه بگوئید $n+1$ تای آنها، می‌توانید بگوئید نصف آنها بعلاوهٔ یک نیم‌قو!

اگر نصف یک تعداد قو و نیم‌قو روی یک دریاچه بشینند نتیجه بدهد که دیگر قویی نمانده‌است یعنی تنها یک قو بوده‌است! چون اگر بیشتر از یک عدد قو باشد نصف آن تعداد بعلاوهٔ نیم برابر با خود آن عدد نخواهد شد. پس روی دریاچهٔ هفتم یک قو نشسته‌است. توجه کنید که تعداد قوها بالای هر دریاچه عددی فرد بوده‌است مانند $2n_i+1$ که زیراندیس $i$ اشاره به زمانی دارد که بالای دریاچهٔ $i$-ام هستیم و هنوز قویی نشسته‌است. هر بار $n_i+1$ قو می‌نشینند و $n_i$ قو ادامه می‌دهند. پس پیش از دریاچهٔ هفتم در بالای دریاچهٔ ششم $2(1)+1$ قو بوده‌اند که $1+1$ قو نشسته و $1$ قو ادامه داده‌است. در بالای دریاچهٔ پنجم $2(3)+1$ قو بوده‌است و اگر دقت کنید بالای دریاچهٔ $i$-ام $2^{8-i}-1$ قو بوده‌است پس در نخستین لحظه بالای دریاچهٔ یکم $2^7-1=127$ قو بوده‌اند.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...