به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+4 امتیاز
68 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط مرادی
ویرایش شده توسط AmirHosein

فرض کنید $R$، یک حلقه جابجایی و یکدار، $M$ یک $R$-مدول و $S$ یک زیر مجموعه بسته ضربی از $R$ باشد. اگر $S^{-1}M = 0$ آیا می‌توان گفت $0 \in S$؟

1 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط مرادی
 
بهترین پاسخ

خیر! معمولا در مجموعه‌های بستهٔ ضربی $S$، صفر را قرار نمی‌دهند. ساده‌ترین مثال نقض برای پرسش شما این است که $M$ مدول تک‌عضوی بدیهی صفر باشد و $R$ یک حلقهٔ (جابجایی) یک‌دار و $S$ تک‌عضوی یک حلقه.

بیاییم $S^{-1}M={0}$ را بررسی کنیم تا ببینیم هم‌ارز چه می‌شود. $$S^{-1}M=\{0\}\;\cong\;\forall s\in S,\forall m\in M\;:\;\frac{m}{s}=0$$ به یاد آورید که تساوی در مدول کسرها چه زمانی روی می‌داد و اینکه $0=\frac{0}{1}$ یا حتی برای هر $s\in S$، $0=\frac{0}{s}$. $$\begin{array}{l}\forall s\in S,\forall m\in M\;:\;\exists u\in S\;s.t.\; u(m.1-s.0)=0\\\forall s\in S,\forall m\in M\;:\;\exists u\in S\;s.t.\; um=0\\ \forall m\in M\;\exists u\in S\;s.t.\; um=0\end{array}$$ اکنون می‌توانید مثال نابدیهی نیز بسازید. حلقهٔ جابجایی و یک‌دارتان را $\mathbb{Z}$ بگیرید و زیرمجموعهٔ ضربی‌اش را $\mathbb{N}$ بردارید که آشکارا صفر را ندارد. $\overline{\mathbb{Z}}_2$ با جمع یک گروه آبلی است بنابراین یک $\mathbb{Z}$-مدول نیز می‌شود. توجه کنید که هر عنصر این مدول بوسیلهٔ عنصری از $S$ صفر می‌شود، در واقع تنها نیاز است $\bar{1}$ را کنترل کنیم که آن نیز به خاطر وجود $2\in\mathbb{N}$ صفر می‌شود پس با اینکه $0\not\in S$ و حتی $M\neq{0}$ داریم $S^{-1}M={0}$.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...