چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+4 امتیاز
65 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط مرادی
ویرایش شده توسط AmirHosein

فرض کنید $R$، یک حلقه جابجایی و یکدار، $M$ یک $R$-مدول و $S$ یک زیر مجموعه بسته ضربی از $R$ باشد. اگر $S^{-1}M = 0$ آیا می‌توان گفت $0 \in S$؟

1 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط مرادی
 
بهترین پاسخ

خیر! معمولا در مجموعه‌های بستهٔ ضربی $S$، صفر را قرار نمی‌دهند. ساده‌ترین مثال نقض برای پرسش شما این است که $M$ مدول تک‌عضوی بدیهی صفر باشد و $R$ یک حلقهٔ (جابجایی) یک‌دار و $S$ تک‌عضوی یک حلقه.

بیاییم $S^{-1}M={0}$ را بررسی کنیم تا ببینیم هم‌ارز چه می‌شود. $$S^{-1}M=\{0\}\;\cong\;\forall s\in S,\forall m\in M\;:\;\frac{m}{s}=0$$ به یاد آورید که تساوی در مدول کسرها چه زمانی روی می‌داد و اینکه $0=\frac{0}{1}$ یا حتی برای هر $s\in S$، $0=\frac{0}{s}$. $$\begin{array}{l}\forall s\in S,\forall m\in M\;:\;\exists u\in S\;s.t.\; u(m.1-s.0)=0\\\forall s\in S,\forall m\in M\;:\;\exists u\in S\;s.t.\; um=0\\ \forall m\in M\;\exists u\in S\;s.t.\; um=0\end{array}$$ اکنون می‌توانید مثال نابدیهی نیز بسازید. حلقهٔ جابجایی و یک‌دارتان را $\mathbb{Z}$ بگیرید و زیرمجموعهٔ ضربی‌اش را $\mathbb{N}$ بردارید که آشکارا صفر را ندارد. $\overline{\mathbb{Z}}_2$ با جمع یک گروه آبلی است بنابراین یک $\mathbb{Z}$-مدول نیز می‌شود. توجه کنید که هر عنصر این مدول بوسیلهٔ عنصری از $S$ صفر می‌شود، در واقع تنها نیاز است $\bar{1}$ را کنترل کنیم که آن نیز به خاطر وجود $2\in\mathbb{N}$ صفر می‌شود پس با اینکه $0\not\in S$ و حتی $M\neq{0}$ داریم $S^{-1}M={0}$.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
71 نفر آنلاین
0 عضو و 71 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2031
بازدید دیروز: 7026
بازدید کل: 4488898
...