به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
345 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط MK90
ویرایش شده توسط AmirHosein

نشان دهید : $Hol(\overline{\mathbb{Z}}_3) \simeq S_{3}$ .

دارای دیدگاه توسط MK90
ویرایش شده توسط MK90
+1
@AmirHosein
بله منظورم S4 بود.
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein
@MK90 عدد اصلی $C_2\times C_2$ یعنی ۴، عدد اصلی گروه هولومورفش را می‌شمارد در حالیکه عدد اصلی $S_3$ ، ۶ است و عامل چهار ندارد. پاسخ درست $S_4$ است.
دارای دیدگاه توسط MK90
ویرایش شده توسط MK90
@AmirHosein
اشتباهی در هیچ یک از کتاب ها نیست. بدخوانی من باعث اشتباهم شد.
دارای دیدگاه توسط MK90
@AmirHosein
یعنی Aut c2*c2 با S4 یکریخت است؟
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein
دلیل اینکه می‌گویم عدد اصلی گروه، عدد اصلی هولومورفش را می‌شمارد را می‌توانید از پاسخ پائین متوجه شوید.
گروه خودریختی‌های $C_2\times C_2$ با $S_4$ یکریخت نیست، بلکه هولومورفش با $S_4$ یکریخت است. در واقع $Aut(C_2\times C_2)\cong S_3$ و شما باید ثابت کنید که ضرب نیمه‌مستقیم $C_2\times C_2$ و $S_3$ برای هولومورف، یکریخت می‌شود با $S_4$. برابری تعداد اعضایشان که بدیهی است چون $|C_2\times C_2|=4$ و $4\times|S_3|=|S_4|$. در واقع علت اشتباه شدن $S_3$ و $S_4$ در کتاب‌هایی که اشاره کردید هم شباهت و اشتباه در تایپ ۳ و ۴ بوده‌است و هم اینکه یکی گروه خودریختی‌های $C_2\times C_2$ است و دیگری هولومورفش.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط MK90
 
بهترین پاسخ

ایدهٔ Hol هولومورف Holomorph یک گروه این است که خود گروه و گروه خودریختی‌هایش را با هم در یک گروه داشته باشیم. بنابراین تا بحث از هولومورف یک گروه شد دو چیز را باید سریع گذاشت روی میز یکی خود گروه یاد شده و دیگری گروه خودریختی‌هایش.

در اینجا با گروه $\overline{\mathbb{Z}}_3$ کار داریم، توجه کنید که این گروه تنها دو خودریختی‌دارد یکی $$\begin{array}{lll} \begin{array}{lcl} & id & \\ 0 & \mapsto & 0\\ 1 & \mapsto & 1\\ 2 & \mapsto & 2 \end{array} & \qquad & \begin{array}{lcl} & \phi & \\ 0 & \mapsto & 0\\ 1 & \mapsto & 2\\ 2 & \mapsto & 1 \end{array}\end{array}$$ در نتیجه $Aut(\overline{\mathbb{Z}}_3)\cong\overline{\mathbb{Z}}_2$.

و اما چگونه می‌توان یک گروه و گروه خودریختی‌هایش را با هم در یک گروه داشت؟ یک ایده استفاده از ضرب نیمه‌مستقیم است که با $\rtimes$ آن را نمایش می‌دهند. اگر $G$ و $H$ دو گروه باشند و $\rho$ یک همریختی از $H$ به گروه خودریختی‌های $G$ باشد آنگاه اثر هر $\rho$ روی هر عضو $h$ از $H$ یک خودریختی روی $G$ می‌شود و می‌تواند روی عنصرهای $G$ اثر کند و حاصل عضوی از $G$ شود. پس اگر $h\in H$ و $g,g'\in G$ آنگاه $g.(\rho(h)(g'))$ معنادار و عضوی از $G$ می‌شود. پس بیایید مجموعهٔ حاصلضرب دکارتی $G\times H$ را با این عمل مجهز کنید که دو جفت مرتب $(g,h)$ و $(g',h')$ را ببرد به $(g.(\rho(h)(g')),h.h')$ که نقطهٔ یکمی عمل گروه $G$ و نقطهٔ دومی عمل گروه $H$ است. این عمل دوتایی می‌شود، بنابراین به تعداد $\rho$های ممکن (عنصرهای $Hom(H,Aut(G))$ همریختی‌های از $H$ به $Aut(G)$) می‌توانیم عمل روی مجموعهٔ $G\times H$ بگذاریم. این مجموعه به همراه عمل دوتایی توضیح‌داده‌شده گروه تشکیل می‌دهد، این گروه را ضرب نیمه‌مستقیم $G$ و $H$ متناظر به همریختی $\rho$ می‌خوانیم و برای تأکید و اشاره به همریختی انتخاب‌شده آن را با $G\rtimes_\rho H$ نمایش می‌دهیم.

برای $Hol$ ایده، به کار بردن ضرب نیمه‌مستقیم است و ساده‌ترین همریختی که می‌توان برگزید نیز همریختی همانی است زیرا که در اینجا گروه دوم ما یعنی $H$ چیزی جز خود گروه خودریختی‌های $G$ نیست و ساده‌ترین و دم دست‌ترین همریخی از $Aut(G)$ به خودش همان همریختی همانی است. پس در واقع برای یک گروه دلخواه $G$، گروه $Hol(G)$ چیزی نیست به جز $G\rtimes_{id}Aut(G)$. و عمل این گروه به خاطر همانی بودن همریختی به این شکل ساده می‌شود. اگر $a,b\in G,\phi,\psi\in Aut(G)$ آنگاه $$(a,\phi)(b,\psi)=(a.\phi(b),\phi\psi)$$

در پرسش اینجا، اینکه $Hol(\overline{\mathbb{Z}}_3)$ همانند $S_3$ شش عضو دارد روشن است چرا که مجموعهٔ پس‌زمینهٔ این گروه حاصلضرب $\overline{\mathbb{Z}}_3$ و مجموعهٔ پس‌زمینهٔ گروهی یکریخت (و در نتیجه از عدد اصلی یکسان) با $\overline{\mathbb{Z}}_2$ است که $3\times 2=6$ عضو خواهد داشت. کافیست نشان دهیم که یک تناظر بین عنصرهای آنها وجود دارد که عمل‌هایشان یکسان روی آنها عمل می‌کند (همان مفهوم همریختی) که در ساده‌ترین حالت با کشیدن جدول عمل آنها که در اینجا به دلیل کوچک بودن عدد اصلی این گروه‌ها ممکن است این کار را می‌توان انجام داد. در واقع $(0,\phi)$ در تناظر با جایگشت $(1\;2)$ و $(1,id)$ در تناظر با جایگشت $(1\;2\;3)$ است.

در نتیجه $Hol(\overline{\mathbb{Z}}_3)\cong S_3$.

بعلاوه به یاد داشته باشید که هولومورف یک گروه، خود آن گروه و همین‌گونه گروه خودریختی‌های آن گروه را به عنوان زیرگروه در بر دارد. زیرمجموعهٔ حاصل از زوج‌های مرتبی که درایهٔ دومشان خودریختی همانی هستند تشکیل زیرگروهی را می‌دهد که با خود $G$ یکریخت است و زیرمجموعهٔ به دست‌آمده از زوج‌های مرتبی که درایهٔ یکمشان همانی گروه است تشکیل زیرگروهی را می‌دهد که با $Aut(G)$ یکریخت است.

نکتهٔ نهایی اینکه به یاد نگه‌دارید که مجموعهٔ پس‌زمینهٔ $Hol$ مجموعهٔ حاصلضرب دکارتی مجموعهٔ $G$ و مجموعهٔ $Aut(G)$ است، پس تعداد عنصرهای گروه $Hol(G)$ برابر است با $|G|\times|Aut(G)|$.

دارای دیدگاه توسط MK90
@AmirHosein
سوال:آیا یکریختی Aut c2*c2 با S3 می تواند یکریختی Hol Z3 را با S3 نتیجه دهد؟
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@MK90
ایدهٔ خوبی نیست، چون لقمه دور دهان چرخاندن است. برای اینکه بتوانید از یکریختی $Aut(C_2\times C_2)\cong S_3$ نتیجه بگیرید که $Hol(\overline{\mathbb{Z}}_3)\cong S_3$ باید نخست ثابت کنید که $Hol(\overline{\mathbb{Z}}_3)\cong Aut(C_2\times C_2)$ !!
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
53 نفر آنلاین
0 عضو و 53 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4410
بازدید دیروز: 4974
بازدید کل: 4852865
...