به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
214 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط A Math L
ویرایش شده توسط fardina

اگر $$x+y+z=0$$

$$x^3+y^3+z^3=18$$ $$x^7+y^7+z^7=2058$$

تمام $x$ , $y$ , $z$ ممکن را پیدا کنید .

راهنمایی :

فرض کنید $f(X) = (X-x)(X-y)(X-z)$ . با استفاده از اتحاد ها ضرایب چند جمله ای $f(X)$ را پیدا کنید .

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano

چندجمله ای درجه 3 زیر را با ریشه های x,y,z را در نظر می گیریم

$f(X)= X^{3}+a X^{2} +bX+c $ چون $x+y+z=0$ پس بنابر روابط بین ریشه ها a=0 پس $ f(X)= X^{3} +bX+c $ پس

$ x^{3} +bx+c=0$

$ y^{3} +by+c=0$

$ z^{3} +bz+c=0$ با جمع این سه تا نتیجه میشه که c=-6 پس $ f(X)= X^{3} +bX-6 $ طرفین سه معادله بالا رو به ترتیب در $ x^{n} , y^{n} , z^{n} $ ضرب می کنیم داریم $ x^{n+3} + y^{n+3} + z^{n+3} +b( x^{n+1} + y^{n+1} + z^{n+1} )-6( x^{n} + y^{n} + z^{n} )=0$

برای راحتی قرار می دهیم $ S_{n} = x^{n} + y^{n} + z^{n} $ بنابراین

$ S_{7} +b S_{5} -6 S_{4} =0$ پس $ S_{7}= -b S_{5} +6 S_{4}=-b(-b S_{3} +6 S_{2} )+6(-b S_{2} +6 S_{1} )= b^{2} S_{3} -12b S_{2} +36 S_{1} $


از طرفی $ S_{3} =18$و$ S_{2} = (x+y+z)^{2} -2(xy+xz+yz)=-2b$ و $ S_{1} =0$و $ S_{7} =2058$پس $2058=42 b^{2} $


پس $b= \pm 7$ ولی $b=7$ قابل قبول نیست چون $f(X)= X^{3} +7X-6$ تنها یک ریشه دارد.چون اکیدا صعودی است.پس $ f(X)= X^{3} -7X-6=0 $ و ریشه های این معادله -1و-2و3 می باشد.پس $(-1,-2,3)$ و همه ی جایگشت های آن جواب دستگاه هستند.

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Taha1381

$x+y+x=0 \Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz=18 \Rightarrow xyz=6$

با تجزیه $x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2x^2z^2$ با استفاده از اتحاد مکعب سه جمله ای و اتحاد مزدوج و مربع دو جمله ای می توان دید اگر $x+y+z=0$ داریم:

$x^y+y^4+z^4=2(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)$

و داریم:

$(xy+yz+zx)^2=x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2+xyz(x+y+z)=x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2$

و همچنین:

$(x^3+y^3+z^3)(x^4+y^4+z^4)=x^7+y^7+z^7+x^3y^3(x+y)+x^3z^3(x+z)+y^3z^3(z+y)=x^7+y^7+z^7-zx^3y^3-yx^3z^3-xy^3z^3=x^7+y^7+z^7-xyz(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)$

اگر قرار دهیم$x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2=a$ داریم:

$36a=2058-6a \Rightarrow a=49$

$(xy+yz+zx)^2=49 \Rightarrow xy+yz+zx= \pm 7$

توجه شود که از $xyz,xy+yz+zx,x+y+z$ می توان به معادلات اصلی رسید پس دستگاه معادلات تبدیل می شود به:

$$x+y+z=0$$

$$xyz=6$$

$$xy+yz+zx= \pm 7$$

حال چند جمله ای تشکیل می دهیم که $x,y,z$ ریشه ی ان باشند با توجه قضیه ی ویت این معادله برابر دو معادله زیر می باشد.

$$f(t)=t^3+7t-6,f(t)=t^3-7t-6$$

چند جمله ای $f(t)=t^3+7t-6$ حاکثر یک ریشه دارد چون اکیدا صعودی است.برای چند جمله ای دیگر داریم:

$f(t)=t^3-7t-6=(t-3)(t+1)(t+2)$

که نتیجه می دهد $x,y,z$ برابر $3,-1,-2$ می باشند .

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...