چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
196 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط A Math L
ویرایش شده توسط fardina

اگر $$x+y+z=0$$

$$x^3+y^3+z^3=18$$ $$x^7+y^7+z^7=2058$$

تمام $x$ , $y$ , $z$ ممکن را پیدا کنید .

راهنمایی :

فرض کنید $f(X) = (X-x)(X-y)(X-z)$ . با استفاده از اتحاد ها ضرایب چند جمله ای $f(X)$ را پیدا کنید .

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano

چندجمله ای درجه 3 زیر را با ریشه های x,y,z را در نظر می گیریم

$f(X)= X^{3}+a X^{2} +bX+c $ چون $x+y+z=0$ پس بنابر روابط بین ریشه ها a=0 پس $ f(X)= X^{3} +bX+c $ پس

$ x^{3} +bx+c=0$

$ y^{3} +by+c=0$

$ z^{3} +bz+c=0$ با جمع این سه تا نتیجه میشه که c=-6 پس $ f(X)= X^{3} +bX-6 $ طرفین سه معادله بالا رو به ترتیب در $ x^{n} , y^{n} , z^{n} $ ضرب می کنیم داریم $ x^{n+3} + y^{n+3} + z^{n+3} +b( x^{n+1} + y^{n+1} + z^{n+1} )-6( x^{n} + y^{n} + z^{n} )=0$

برای راحتی قرار می دهیم $ S_{n} = x^{n} + y^{n} + z^{n} $ بنابراین

$ S_{7} +b S_{5} -6 S_{4} =0$ پس $ S_{7}= -b S_{5} +6 S_{4}=-b(-b S_{3} +6 S_{2} )+6(-b S_{2} +6 S_{1} )= b^{2} S_{3} -12b S_{2} +36 S_{1} $


از طرفی $ S_{3} =18$و$ S_{2} = (x+y+z)^{2} -2(xy+xz+yz)=-2b$ و $ S_{1} =0$و $ S_{7} =2058$پس $2058=42 b^{2} $


پس $b= \pm 7$ ولی $b=7$ قابل قبول نیست چون $f(X)= X^{3} +7X-6$ تنها یک ریشه دارد.چون اکیدا صعودی است.پس $ f(X)= X^{3} -7X-6=0 $ و ریشه های این معادله -1و-2و3 می باشد.پس $(-1,-2,3)$ و همه ی جایگشت های آن جواب دستگاه هستند.

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Taha1381

$x+y+x=0 \Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz=18 \Rightarrow xyz=6$

با تجزیه $x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2x^2z^2$ با استفاده از اتحاد مکعب سه جمله ای و اتحاد مزدوج و مربع دو جمله ای می توان دید اگر $x+y+z=0$ داریم:

$x^y+y^4+z^4=2(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)$

و داریم:

$(xy+yz+zx)^2=x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2+xyz(x+y+z)=x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2$

و همچنین:

$(x^3+y^3+z^3)(x^4+y^4+z^4)=x^7+y^7+z^7+x^3y^3(x+y)+x^3z^3(x+z)+y^3z^3(z+y)=x^7+y^7+z^7-zx^3y^3-yx^3z^3-xy^3z^3=x^7+y^7+z^7-xyz(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)$

اگر قرار دهیم$x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2=a$ داریم:

$36a=2058-6a \Rightarrow a=49$

$(xy+yz+zx)^2=49 \Rightarrow xy+yz+zx= \pm 7$

توجه شود که از $xyz,xy+yz+zx,x+y+z$ می توان به معادلات اصلی رسید پس دستگاه معادلات تبدیل می شود به:

$$x+y+z=0$$

$$xyz=6$$

$$xy+yz+zx= \pm 7$$

حال چند جمله ای تشکیل می دهیم که $x,y,z$ ریشه ی ان باشند با توجه قضیه ی ویت این معادله برابر دو معادله زیر می باشد.

$$f(t)=t^3+7t-6,f(t)=t^3-7t-6$$

چند جمله ای $f(t)=t^3+7t-6$ حاکثر یک ریشه دارد چون اکیدا صعودی است.برای چند جمله ای دیگر داریم:

$f(t)=t^3-7t-6=(t-3)(t+1)(t+2)$

که نتیجه می دهد $x,y,z$ برابر $3,-1,-2$ می باشند .

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
75 نفر آنلاین
0 عضو و 75 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4740
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4713881
...