چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
1,399 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط A Math L

اگر $p(x)$ یک چند جمله ای درجه $n$ باشد به طوری که $p(k) = \frac{k}{k+1} $ به ازای $k = 0,1,...,n$ ، $p(n+1)$ را بیابید .

راهنمایی :

چند جمله ای $g(x) = (x+1)p(x)-x$ را که از درجه $n+1$ است در نظر بگیرید .

دارای دیدگاه توسط kazomano
x=0,....x=n ریشه های g(x) میشن.حالا g(x) رو تجزیه کن و ضریب ثابتش رو از روی اینکه g(-1)=1 پیدا کن.حالا از روی این ضابطه p(x) به دست میاد و مسئله حل میشه.
دارای دیدگاه توسط A Math L
ویرایش شده توسط A Math L
$g(x)$ رو به صورت $g(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n)q(x)$ تجزیه کردم چون $g(-1) = 1 $  بنابراین $q(x)$ برابر است با
$ \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!} $ پس : $ (x+1)p(x)-x = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}x(x-1)(x-2)...(x-n) $

در نتیجه :
$p(x) =  \frac{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}x(x-1)(x-2)...(x-n)+x}{x+1} $ , پس به ازای $x=n+1$ , $p(x) =  \frac{(-1)^{n+1}+n+1}{n+2} $  ،
دارای دیدگاه توسط kazomano
درست حل کردی فقط به جای q(x) از یه ضریب ثابت استفاده کن.
این راه حل رو به عنوان پاسخ این سوال منتشر کن.

2 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein

این پرسش به روش‌های گوناگون حل می‌شود. تمام نکتهٔ آن این است که یک چندجمله‌ای از درجهٔ $n$ با $n+1$ مقدارش به طور یکتا مشخص می‌شود (مانند این که می‌گوئید یک خط در فضای اقلیدسی با دو نقطه‌اش به طور یکتا مشخص می‌شود).

  • روش یک: یک چندجمله‌ای درجهٔ $n$ به شکل $$a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$$ است. با داشتن $n$ مقدار آن به ازای $n+1$ ایکس متمایز، شما یک دستگاه خطی $n+1$ معادله-$n+1$ مجهول دارید که مجهول‌هایتان $a_0$ تا $a_n$ هستند.

  • روش دو: استفاده از چندجمله‌ای‌های درون‌یاب که در درس آنالیز عددی یک با آنها آشنا می‌شوید.

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط A Math L

$g(x)$ رو به صورت $g(x) = ax(x-1)(x-2)...(x-n)$ تجزیه کردم چون $g(-1) = 1 $ بنابراین $a$ برابر است با $ \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!} $ پس : $ (x+1)p(x)-x = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}x(x-1)(x-2)...(x-n) $

در نتیجه : $p(x) = \frac{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}x(x-1)(x-2)...(x-n)+x}{x+1} $ , پس به ازای $x=n+1$ , $p(x) = \frac{(-1)^{n+1}+n+1}{n+2} $

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
65 نفر آنلاین
0 عضو و 65 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2010
بازدید دیروز: 7026
بازدید کل: 4488877
...