به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
302 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط eski

گردایه ای از مجموعه های شمارا یامتمم شمارا کی سیگما جبر است؟لطفا اثبات کامل بذارید

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنید $ X $ یک مجموعه ناتهی دلخواه باشد در اینصورت گردایه $\mathcal A $ متشکل از تمام زیرمجموعه‌های شمارا یا متمم شمارا یک سیگماجبر است.

اثبات:

  1. اولا اگر $ E\in \mathcal A $ در اینصورت $E $ یا $ E^c $ شمارا است بنابراین $ E^c\in\mathcal A $ .

  2. ثانیا اگر $ E_1, E_2,...\in\mathcal A $ در اینصورت دو حالت داریم :

    • یا برای هر $ i $ مجموعه‌های $ E_i $ شمارا هستند که در اینصورت $ \bigcup_i E_i $ شمارا بوده و لذا $ \bigcup_i E_i\in \mathcal A $ .
    • یا حداقل برای یک $i $ داریم $ E_i^c $ شمارا است در اینصورت $ \bigcap_i E_i^c\subset E_i^c $ شمارا بوده و این یعنی $ ( \bigcup_i E_i)^c= \bigcap_i E_i^c $ شمارا است و لذا باز هم $ \bigcup_i E_i\in\mathcal A $ .

لذا در هر حالت ثابت شد که $ \bigcup_i E_i\in\mathcal A$ و مساله ثابت است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
61 نفر آنلاین
0 عضو و 61 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 5461
بازدید دیروز: 6583
بازدید کل: 5017695
...