چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
297 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط eski

گردایه ای از مجموعه های شمارا یامتمم شمارا کی سیگما جبر است؟لطفا اثبات کامل بذارید

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنید $ X $ یک مجموعه ناتهی دلخواه باشد در اینصورت گردایه $\mathcal A $ متشکل از تمام زیرمجموعه‌های شمارا یا متمم شمارا یک سیگماجبر است.

اثبات:

  1. اولا اگر $ E\in \mathcal A $ در اینصورت $E $ یا $ E^c $ شمارا است بنابراین $ E^c\in\mathcal A $ .

  2. ثانیا اگر $ E_1, E_2,...\in\mathcal A $ در اینصورت دو حالت داریم :

    • یا برای هر $ i $ مجموعه‌های $ E_i $ شمارا هستند که در اینصورت $ \bigcup_i E_i $ شمارا بوده و لذا $ \bigcup_i E_i\in \mathcal A $ .
    • یا حداقل برای یک $i $ داریم $ E_i^c $ شمارا است در اینصورت $ \bigcap_i E_i^c\subset E_i^c $ شمارا بوده و این یعنی $ ( \bigcup_i E_i)^c= \bigcap_i E_i^c $ شمارا است و لذا باز هم $ \bigcup_i E_i\in\mathcal A $ .

لذا در هر حالت ثابت شد که $ \bigcup_i E_i\in\mathcal A$ و مساله ثابت است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
59 نفر آنلاین
0 عضو و 59 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 435
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709577
...