چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
61 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط مرادی

چرا $depth(K[x,y]/(xy)^{k}) = 1$ برای هر $k \in N$.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

ژرفا (عمق depth) تنها برای حلقه‌های نوتری موضعی تعریف می‌شود. اگر $k$ میدان بستهٔ جبری نباشد، حلقهٔ خارج‌قسمتی‌ای که معرفی کرده‌اید الزاما موضعی نمی‌شود. پس من میدان ضرایب را در اینجا بستهٔ جبری فرض می‌کنم.

توجه کنید که $depth(R)\leq\dim R$ چون بعد کرول حلقه یک است پس ژرفا یا یک است یا صفر. اکنون به یاد آورید که ژرفای یک حلقهٔ موضعی برابر با درجهٔ (grade) ایده‌آل بیشینه می‌بود. درجهٔ یک ایده‌آل نیز درازای (طول) بزرگترین $R$-دنباله در ایده‌آل بود. چون ${x}$ یا ${y}$، $R$-دنباله در ایده‌آل بیشینه‌مان یعنی $\dfrac{\langle x,y\rangle}{\langle (xy)^n\rangle}$ هستند پس باید ژرفا بزرگتر یا مساوی یک باشد. در نتیجه اینکه ژرفای حلقهٔ موضعی‌مان دقیقا یک است را ثابت کردیم.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
111 نفر آنلاین
0 عضو و 111 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2367
بازدید دیروز: 12337
بازدید کل: 4533522
...