به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
64 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط مرادی

چرا $depth(K[x,y]/(xy)^{k}) = 1$ برای هر $k \in N$.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

ژرفا (عمق depth) تنها برای حلقه‌های نوتری موضعی تعریف می‌شود. اگر $k$ میدان بستهٔ جبری نباشد، حلقهٔ خارج‌قسمتی‌ای که معرفی کرده‌اید الزاما موضعی نمی‌شود. پس من میدان ضرایب را در اینجا بستهٔ جبری فرض می‌کنم.

توجه کنید که $depth(R)\leq\dim R$ چون بعد کرول حلقه یک است پس ژرفا یا یک است یا صفر. اکنون به یاد آورید که ژرفای یک حلقهٔ موضعی برابر با درجهٔ (grade) ایده‌آل بیشینه می‌بود. درجهٔ یک ایده‌آل نیز درازای (طول) بزرگترین $R$-دنباله در ایده‌آل بود. چون ${x}$ یا ${y}$، $R$-دنباله در ایده‌آل بیشینه‌مان یعنی $\dfrac{\langle x,y\rangle}{\langle (xy)^n\rangle}$ هستند پس باید ژرفا بزرگتر یا مساوی یک باشد. در نتیجه اینکه ژرفای حلقهٔ موضعی‌مان دقیقا یک است را ثابت کردیم.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...