به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
537 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط مرادی
برچسب گذاری دوباره توسط مرادی

نشان دهید ماتریس‌های هم‌ارز فضای سطری یکسانی دارند. و برعکس.

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
ماتریس هم‌ارز را با چه تعریفی گرفته‌اید؟
دارای دیدگاه توسط مرادی
ویرایش شده توسط مرادی
+1
AmirHosein@
منظورم این است که اگر یک ماتریس $A$ داشته باشیم. ماتریس تحویل یافته سطری پلکانی $A$، ماتریسی به نام $R$ باشد. در این‌صورت فضای سطری $A$ و $R$ یکسان است. و برعکس.
"دو ماتریس را هم‌ارز گوییم هرگاه یکی از ماتریس‌ها را بتوان با اعمال سطری (همون 4 موردی که می‌شناسیم) به ماتریس دیگر تبدیل کرد."

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط مرادی
 
بهترین پاسخ

سه عمل سطری-مقدماتی داریم.

  • جابجا کردن جای دو سطر.
  • اسکالر ناصفربرابر کردن یک سطر.
  • جایگزین کردن یک سطر یا حاصل جمعش با اسکالر ناصفر برابری از سطری دیگر.

دو ماتریس $A$ و $B$ را هم‌ارز سطری گوئیم هر گاه یکی از آن دو را با انجام تعداد متناهی عمل از سه نوع بالا از روی دیگری بتوانیم بسازیم.

توجه کنید که اگر $B$ توسط دنباله‌ای از اعمال سطری-مقدماتی از روی $A$ ساخته‌شده‌باشد، آنگاه $A$ نیز بوسیلهٔ دنباله‌ای از اعمال سطری-مقدماتی از روی $B$ ساخته‌شدنی است. در واقع کافیست برعکس اعمال پیشین را از انتها به ابتدا روی $B$ پیاده کنیم. برعکس این عمل‌ها نیز بدیهی‌اند. توجه کنید که اگر $A'$ حاصل از جابجا شدن سطرهای $i$ و $j$اُم ماتریس $A$ باشد، آنگاه $A$ نیز حاصل جابجا شدن سطرهای $j$ و $i$اُم $A'$ خواهد بود. اگر $A''$ حاصل از جایگزین کردن سطر $i$اُم ماتریس $A$ با $k$ برابر سطر $i$اُم باشد که $k$ ناصفر است آنگاه ماتریس $A$ نیز حاصل جایگزین شدن سطر $i$اُم ماتریس $A''$ با $\frac{1}{k}$ برابر سطر $i$اُم خواهد بود. اگر ماتریس $A'''$ حاصل جایگزین‌شدن سطر $j$اُم ماتریس $A$ با جمع سطر $j$اُم با $k$ برابر سطر $i$اُم باشد آنگاه ماتریس $A$ نیز حاصل جایگزین‌شدن سطر $j$اُم ماتریس $A'''$ با جمع سطر $j$ام با $-k$ برابر سطر $i$ام است. همان‌گونه که می‌بینید علت خاصی برای ناصفر فرض کردن $k$ در عمل سوم نیست به جز اینکه بدیهی نشود.

ترایایی بودن و بازتابی بودن این رابطه نیز آسان است پس یک رابطهٔ هم‌ارزی است.

فضای سطری یک ماتریس $m\times n$ زیرفضای برداری تولید شده بوسیلهٔ مجموعهٔ بردارهای مربوط به $m$ سطر این ماتریس در $F^n$ است که $F$ میدانی است که درایه‌های این ماتریس را از آن برداشته‌اید.

پس متن پرسش به این شکل تعبیر می‌شود که اگر ماتریس $A$ و $B$ هم‌ارز سطری باشند که در نتیجه می‌توان گفت $B$ بوسیلهٔ تعداد متناهی عمل سطری-مقدماتی از روی $A$ ساخته‌شده‌است، آنگاه فضای سطری $A$ و $B$، یعنی زیرفضاهای برداری تولید شده بوسیلهٔ سطرهایشان یکسان هستند.

توجه کنید که دو ماتریس هم‌ارز سطری دارای تعداد سطر و ستون یکسان هستند. چون در هیچ یک از این عملیات سه‌گانه تعداد سطرها کم یا زیاد نمی‌شود و بعلاوه سطرهای جایگزین‌شدهٔ جدید نیز از ترکیب خطی سطرهای پیشین و در نتیجه با تعداد درایهٔ یکسان هستند پس تعداد ستون‌ها نیز تغییر نکرده‌است.

پس تا اینجا هر دو فضای سطری زیرفضای یک فضای برداری هستند.

اگر ثابت کنیم که ماتریسی که از یک عمل سطری-مقدماتی ناشی شده‌است دارای فضای سطری یکسانی است آنگاه با یک استقرای ریاضی (چون تعداد عمل‌های سطری-مقدماتی برای ماتریس‌های هم‌ارز سطری متناهی است) حکم ثابت می‌شود.

پس بدون کاستن از کلیت فرض کنیم $B$ تنها پس از انجام یک عمل سطری-مقدماتی از روی $A$ ساخته شده‌است. پس سه حالت داریم.

  • در حالت یک، مجموعهٔ سطرهای هر دو ماتریس برابر هستند که تنها ترتیب دو تا آنها جابجا شده‌است که در مجموعه ترتیب تأثیری ندارد و به دنبالش زیرفضای تولید شده بوسیلهٔ این دو مجموعه یکسان هستند.

  • در این حالت دو مجموعه در یک بردار تفاوت دارند ولی این دو بردار متفاوت مضرب اسکالر ناصفر برابر یکدیگرند و در نتیجه هر یک در فضای برداری تولید شده بوسیله مجموعهٔ شامل دیگری قرار خواهند داشت. بخواهیم خیلی مته به خشخاش بگذاریم و تا ته دلیل را بنویسیم، یک عضوگیری ساده می‌شود. بردارهای سطرهای ماتریس یکم را با $r_1,\cdots,r_i,\cdots,r_m$ نمایش دهید و مجموعهٔ بردارهای سطرهای ماتریس دوم همان است به جز اینکه به جای $r_i$، بردار $kr_i$ را داریم. یک عضو در فضای برداری ساخته‌شده بوسیلهٔ مجموعهٔ یکم به شکل زیر است. $$u=a_1r_1+\cdots+a_ir_i+\cdots+a_mr_m$$ اما توجه کنید که $a_i=a_i\times 1=a_i\times \frac{1}{k}k=(a_i\frac{1}{k})k$. پس با تعریف کردن $a_i'=a_i\frac{1}{k}$ داریم $$u=a_1r_1+\cdots+a_i'(kr_i)+\cdots+a_mr_m$$ پس $u$ در زیرفضای برداری ساخته‌شده بوسیلهٔ مجموعهٔ دوم نیز قرار گرفت! روشن است که برعکسش نیز روی می‌دهد یعنی هر عضو از زیرفضای برداری ساخته‌شده بوسیلهٔ مجموعهٔ دوم نیز در زیرفضای برداری ساخته‌شده بوسیلهٔ مجموعهٔ یکم نیز قرار می‌گیرد.

  • حالت سوم نیز مانند حالت دوم بررسی می‌شود که تنها یک سطر است که در دو ماتریس متفاوت است. بردارهای ماتریس یکم را $r_1,\cdots,r_i,\cdots,r_j,\cdots,r_m$ بگیرید. بردارهای سطرهای ماتریس دوم تنها فرقش این است که به جای $r_j$، $r_j+kr_i$ دارد. در اینصورت یک عضو $u$ از فضای برداری یکم مانند $$u=a_1r_1+\cdots+a_ir_i+\cdots+a_jr_j+\cdots+a_mr_m$$ را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد که در فضای برداری دوم می‌اندازدش $$u=a_1r_1+\cdots+(a_i-a_jk_j)r_i+\cdots+a_j(r_j+kr_i)+\cdots+a_mr_m$$ و برعکسش را نیز خودتان انجام دهید.

پس در هر سه حالت آنچه می‌خواستیم برقرار است و این پاسخ را به پایان می‌رساند.

توجه کنید که علت زمان گذاشتن روی اثبات تقارنی بودن رابطهٔ هم‌ارزی سطری بودن و معرفی برعکس سه عمل برای اینجا بود که در بازنویسی ترکیب‌های خطی بالا به کارمان می‌آمد.

و اما اینکه چرا برعکس گزاره نیز درست است، یعنی اگر دو ماتریس فضای سطری یکسان داشته‌باشند، هم‌ارز سطری هستند. از اینجا که فضای سطری یکسان دارند نتیجه می‌شود که هر دو مجموعهٔ سطرها یک زیرفضای برداری می‌سازند به ویژه هر کدام از این مجموعه‌ها درون فضای برداری دیگری قرار می‌گیرد پس هر یک از سرهای ماتریس دوم یک تریکب خطی از سطرهای ماتریس یکم است. در این صورت تداد متناهی بار اعمال سه عمل سطری-مقدماتی سطرهای جدید را می‌سازند و جایگزین سطرهای ماتریس یکم می‌کنند که هم‌ارزی سطری این دو را می‌رساند. جزئیات کار را خودتان تکمیل کنید. برای نمونه اگر سطر سوم ماتریس دوم جمع دو برابر سطر یکم و چهار برابر سطر دوم ماتریس یکم است آنگاه کافیست نخست سطر دوم را چهار برابر و جایگزین خودش کنید. سپس سطر دوم جدید را با دو برابر سطر یکم جمع و جایگزین سطر دوم جدید کنید. در نهایت سطر دوم جدید را با سطر طوم جابجا کنید. در نتیجه ماتریس حاصل دارای سطر سوم به شکلی که خواسته‌بودیم هست.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...