چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
138 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط A Math L
ویرایش شده توسط A Math L

اگر $a,b,c \geq 0$ نامساوی $ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} $ رابا استفاده از تغییر متغیر و تنها واسطه ی حسابی - هندسی 2 تایی حل کنید .

راهنمایی : $x=b+c$ , $y=a+c$ , $z=a+b$

$x$ , $y$ و $z$ رو قرار دادم بدست اومد $2a=y+z-x$ , $2b=x+z-y$ , $2c=x+y-z$

دارای دیدگاه توسط Taha1381
باید این شرط رو اضافه کنید که $a$و$b$و$c$مثبت هستند.
دارای دیدگاه توسط A Math L
$a,b,c$ منفی هم فکر کنم درست باشه
دارای دیدگاه توسط kazomano
بله درسته باید نامنفی باشند.
دارای دیدگاه توسط A Math L
ویرایش کردم .

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano

اول یک لم رو ثابت می کنیم

لم:اگر $a,b,c$ مثبت باشند آن گاه $(a+b+c)( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ) \geq 9$

اثبات: باضرب پرانتز ها و استفاده از رابطه $ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 $ رابطه اثبات می شود. حالا با استفاده از این لم می نویسیم $((a+b)+(b+c)+(c+a))( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} ) \geq 9$ بنابراین

$(a+b+c)( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} ) \geq \frac{9}{2} $

حالا با ضرب پرانتزها نتیجه حاصل میشه.

دارای دیدگاه توسط Taha1381
به نظر من لم رو با کوشی شوارتز اثبات کنید بهتره.
دارای دیدگاه توسط A Math L
خیلی ممنون اگه امکان داره با راهی که خود سوال توضیح داده هم حل کنید .
دارای دیدگاه توسط kazomano
اون تغییر متغیرها رو که انجام دادی تو سمت چپ نامساوی جایگذاری کن بعد از 1/2 فاکتور بگیر صورت ها رو بر مخرج تک به تک تقسیم کن و از این نکته که مجموع هر عدد با عکسش بزرگتر یا مساوی 2 استفاده کن مسئله حل میشه.

البته راه حل دیگه این مسئله استفاده از نامساوی مورهد.
دارای دیدگاه توسط kazomano
@Taha1381
بله نتیجه مستقیم کوشی شوارتز.
0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Taha1381

$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} =(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})-3 $

حال از تغییر متغیر راهنمایی استفاده کنید.

$\frac{1}{2}(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-3=\frac{1}{2}(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+3)-3$

حال طبق نامساوی میانگین حسابی هندسی داریم:$\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \ge 2$ با استفاده از این عبارت به دست می اید:

$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \ge 4.5-3=1.5$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
65 نفر آنلاین
0 عضو و 65 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2373
بازدید دیروز: 5078
بازدید کل: 4673832
...