چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
247 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط amirm20

هرگاه تابعی مانند $ f $ در بازه ی $ (a,b) $ تعریف شده باشد و در نقطه ایی مانند $ c $ در این بازه مشتق پذیر باشد .

آنگاه :

تابعی مانند $ g $ وجود دارد . بطوری که :

الف) به $ f,c $ وابسته است .

ب) در $ c$ پیوسته است .

پ) در معادله ی زیر صدق میکند:

$$ \forall x \in (a,b) :f(x)-f(c)=(x-c)g(x)$$

و برعکس این قضیه هم صحیح میباشد .

این قضیه رو من در آنالیز ریاضی اپوستل دیدم فصل $ 5 $ قضیه $ 2.5 $

که برهانش هم نوشته. راستش من نه قضیه و نه برهانشو متوجه شدم .

ممنون میشم یکم برام واضحترش کنید هم قضیه رو هم برهانشو .

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط amirm20
 
بهترین پاسخ

تبصره بعد از قضیه 3.5 را بخوانید به طور کامل و گویا معادله بالا را توضیح داده است! به طور کلی می گوید چنانچه تابع $f$ در $c$ مشتقپذیر باشد در اینصورت $f$ در نزدیکی $c$ تابعی است تقریبا خطی.

برای اثبات فرض کنیم $f$ در $c$ مشت پذیر باشد تابع $g$ را روی $(a,b)$ به صورت زیر تعریف کرده است: $$g(x)=\begin{cases}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}&x\neq c\\ f'(c)& x=c\end{cases}$$

در اینصورت $g$ در $c$ پیوسته است چون : $$\lim_{x\to c}g(x)=\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(c)=g(c)$$

(توجه کنید که چون $x\to c$ پس می توان فرض کرد $x\neq c$)

و همچنین رابطه $f(x)-f(c)=g(x)(x-c)$ برای هر $x\in (a,b)$ درست است چون اگر $x\neq c$ در اینصورت $g(x)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$ و لذا $f(x)-f(c)=g(x)(x-c)$ و اگر $x=c$ در اینصورت $0=f(c)-f(c)=g(c)(c-c)='(c)\times 0=0$ .

برعکس: فرض کنید تابع $g$ پیوسته در $c$ در معادله $f(x)-f(c)=g(x)(x-c)$ برای هر $x\in (a, b)$ صدق کند در اینصورت برای $x\neq c$ ا تقسیم طرفین بر $x-c$ داریم $\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=g(x)$ با حد گرفتن از طرفین و پیوستگی $g$ داریم: $$\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\lim_{x\to c}g(x)=g(c)$$

اما $ \lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(c) $ پس یعنی $f'(c)$ موجود است و برابر است با $g(c)$ .

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
82 نفر آنلاین
1 عضو و 81 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3658
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4698698
...