چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
4,025 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط y.s
برچسب گذاری دوباره توسط admin

لطفا در مورد درونیابی هرمیت توضیح بدهید؟ فرمولهای استفاده شده در مورد آنرا بیان کنید. کتابهایی که بطور ساده و قابل درک در این مورد بیان شده را در صورت امکان معرفی کنید . با تشکر از لطف شما دوستان.

مرجع: آنالیز عددی استوئر

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

چند جمله ای درونیاب نه تنها میتونند توابع را درونیابی کنن بلکه میتونند مراتب معینی از مشتقات تابع را هم درونیابی کنند.

فرض کنید مقدار تابع $f $ در نقاط $ x_{0} , x_{1} ,.... x_{n} $ داده شده باشد برای درونیابی خود تابع باید تابع $ p $ راطوری بیابیم که برای هر $0 \leq i \leq n $ داشته باشیم $p( x_{i} )=f( x_{i} ) $ باشد وحال فرض مقدار مشتق تابع $ f $ در همون نقاط رو هم داشته باشیم لذا به شرایط بالا شرط اینکه برای هر $0 \leq i \leq n $ داشته باشیم $ p'( x_{i} )= f' ( x_{i} ) $ را اضافه میکنیم پس در کل $2n+2$ شرط داریم لذا باید درجه ی $ p $ حداکثر برابر $2n+1 $ باشد.لذا چندجمله ای به فرم زیر است که در آن $ A_{i} $ و$ B_{i} $ چند جمله ای هایی از درجه ی حداکثر $2n+1$ هستند: $$p(x)= \sum_{i=0}^n A_{i}f( x_{i} ) + \sum_{i=0}^n B_{i} f' ( x_{i} ) $$ $ A_{i} $ و$ B_{i} $ در شرایط زیر باید صدق کنند:

$$p( x_{i} )=f( x_{i} ) \Rightarrow \begin{cases} A_{i}( x_{j})=1 & i = j\\A_{i}( x_{j})=0 & i \neq j\end{cases} \ \ \ ,B_{i}( x_{j})=0 \ \ \ \ \ \ (1)$$

$$p'( x_{i} )= f' ( x_{i} ) \Rightarrow \begin{cases} B_{i}( x_{j})=1 & i = j\\B_{i}( x_{j})=0 & i \neq j\end{cases} \ \ \ ,A' _{i}( x_{j})=0 \ \ \ \ \ \ (2)$$ میتوان $ B_{i} $ , $ A_{i} $ ها را بصورت زیر در نظر گرفت:(به کمک چند جمله ای های لاگرانژ)

$$ A_{i}( x )= \gamma _{i}(x) {L^{2}}_{i}(x) $$

$$ B_{i}( x)= \delta _{i}(x) {L^{2}}_{i}(x) $$ چون در جه ی $ {L^{2}}_{i}(x) $ برابر $2n$ است لذا $ \gamma _{i}(x) $ و $ \delta _{i}(x) $ در جه یک هستند فرض کنید که $ \gamma _{i}(x)= a_{i} x+ b_{i} $ و $ \delta _{i}(x)= c_{i} x+ d_{i} $

حال با توجه به شرایط و روابط $(1) ,(2) $ بسادگی میتوان دید که

$$a_{i}=-2 L' _{i}(x_{i}) \\b_{i}=1+2x_{i}L' _{i}(x_{i}) \\ c_{i}=1 \\ d_{i}=-x_{i}$$

حال با جایگذاری روابط اخیر در فرم اولیه قرار داده شده برای $ p(x) $ خواهیم داشت: $$ p(x)= \sum_{i=0}^n [1-2(x-x_{i}) L' _{i}(x_{i})]{L^{2}}_{i}(x) f( x_{i} ) + \sum_{i=0}^n (x-x_{i}) {L^{2}}_{i}(x)f' ( x_{i} ) $$

این رابطه را چند جمله ای درونیاب هرمیت مینامیم.

مثال:

enter image description here enter image description here

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
46 نفر آنلاین
0 عضو و 46 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 724
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709866
...