به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
4,774 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
برچسب گذاری دوباره توسط

لطفا در مورد درونیابی هرمیت توضیح بدهید؟ فرمولهای استفاده شده در مورد آنرا بیان کنید. کتابهایی که بطور ساده و قابل درک در این مورد بیان شده را در صورت امکان معرفی کنید . با تشکر از لطف شما دوستان.

مرجع: آنالیز عددی استوئر

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

چند جمله ای درونیاب نه تنها میتونند توابع را درونیابی کنن بلکه میتونند مراتب معینی از مشتقات تابع را هم درونیابی کنند.

فرض کنید مقدار تابع $f $ در نقاط $ x_{0} , x_{1} ,.... x_{n} $ داده شده باشد برای درونیابی خود تابع باید تابع $ p $ راطوری بیابیم که برای هر $0 \leq i \leq n $ داشته باشیم $p( x_{i} )=f( x_{i} ) $ باشد وحال فرض مقدار مشتق تابع $ f $ در همون نقاط رو هم داشته باشیم لذا به شرایط بالا شرط اینکه برای هر $0 \leq i \leq n $ داشته باشیم $ p'( x_{i} )= f' ( x_{i} ) $ را اضافه میکنیم پس در کل $2n+2$ شرط داریم لذا باید درجه ی $ p $ حداکثر برابر $2n+1 $ باشد.لذا چندجمله ای به فرم زیر است که در آن $ A_{i} $ و$ B_{i} $ چند جمله ای هایی از درجه ی حداکثر $2n+1$ هستند: $$p(x)= \sum_{i=0}^n A_{i}f( x_{i} ) + \sum_{i=0}^n B_{i} f' ( x_{i} ) $$ $ A_{i} $ و$ B_{i} $ در شرایط زیر باید صدق کنند:

$$p( x_{i} )=f( x_{i} ) \Rightarrow \begin{cases} A_{i}( x_{j})=1 & i = j\\A_{i}( x_{j})=0 & i \neq j\end{cases} \ \ \ ,B_{i}( x_{j})=0 \ \ \ \ \ \ (1)$$

$$p'( x_{i} )= f' ( x_{i} ) \Rightarrow \begin{cases} B_{i}( x_{j})=1 & i = j\\B_{i}( x_{j})=0 & i \neq j\end{cases} \ \ \ ,A' _{i}( x_{j})=0 \ \ \ \ \ \ (2)$$ میتوان $ B_{i} $ , $ A_{i} $ ها را بصورت زیر در نظر گرفت:(به کمک چند جمله ای های لاگرانژ)

$$ A_{i}( x )= \gamma _{i}(x) {L^{2}}_{i}(x) $$

$$ B_{i}( x)= \delta _{i}(x) {L^{2}}_{i}(x) $$ چون در جه ی $ {L^{2}}_{i}(x) $ برابر $2n$ است لذا $ \gamma _{i}(x) $ و $ \delta _{i}(x) $ در جه یک هستند فرض کنید که $ \gamma _{i}(x)= a_{i} x+ b_{i} $ و $ \delta _{i}(x)= c_{i} x+ d_{i} $

حال با توجه به شرایط و روابط $(1) ,(2) $ بسادگی میتوان دید که

$$a_{i}=-2 L' _{i}(x_{i}) \\b_{i}=1+2x_{i}L' _{i}(x_{i}) \\ c_{i}=1 \\ d_{i}=-x_{i}$$

حال با جایگذاری روابط اخیر در فرم اولیه قرار داده شده برای $ p(x) $ خواهیم داشت: $$ p(x)= \sum_{i=0}^n [1-2(x-x_{i}) L' _{i}(x_{i})]{L^{2}}_{i}(x) f( x_{i} ) + \sum_{i=0}^n (x-x_{i}) {L^{2}}_{i}(x)f' ( x_{i} ) $$

این رابطه را چند جمله ای درونیاب هرمیت مینامیم.

مثال:

enter image description here enter image description here

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...