به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
5,171 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
برچسب گذاری دوباره توسط admin

لطفا در مورد درونیابی هرمیت توضیح بدهید؟ فرمولهای استفاده شده در مورد آنرا بیان کنید. کتابهایی که بطور ساده و قابل درک در این مورد بیان شده را در صورت امکان معرفی کنید . با تشکر از لطف شما دوستان.

مرجع: آنالیز عددی استوئر

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

چند جمله ای درونیاب نه تنها میتونند توابع را درونیابی کنن بلکه میتونند مراتب معینی از مشتقات تابع را هم درونیابی کنند.

فرض کنید مقدار تابع $f $ در نقاط $ x_{0} , x_{1} ,.... x_{n} $ داده شده باشد برای درونیابی خود تابع باید تابع $ p $ راطوری بیابیم که برای هر $0 \leq i \leq n $ داشته باشیم $p( x_{i} )=f( x_{i} ) $ باشد وحال فرض مقدار مشتق تابع $ f $ در همون نقاط رو هم داشته باشیم لذا به شرایط بالا شرط اینکه برای هر $0 \leq i \leq n $ داشته باشیم $ p'( x_{i} )= f' ( x_{i} ) $ را اضافه میکنیم پس در کل $2n+2$ شرط داریم لذا باید درجه ی $ p $ حداکثر برابر $2n+1 $ باشد.لذا چندجمله ای به فرم زیر است که در آن $ A_{i} $ و$ B_{i} $ چند جمله ای هایی از درجه ی حداکثر $2n+1$ هستند: $$p(x)= \sum_{i=0}^n A_{i}f( x_{i} ) + \sum_{i=0}^n B_{i} f' ( x_{i} ) $$ $ A_{i} $ و$ B_{i} $ در شرایط زیر باید صدق کنند:

$$p( x_{i} )=f( x_{i} ) \Rightarrow \begin{cases} A_{i}( x_{j})=1 & i = j\\A_{i}( x_{j})=0 & i \neq j\end{cases} \ \ \ ,B_{i}( x_{j})=0 \ \ \ \ \ \ (1)$$

$$p'( x_{i} )= f' ( x_{i} ) \Rightarrow \begin{cases} B_{i}( x_{j})=1 & i = j\\B_{i}( x_{j})=0 & i \neq j\end{cases} \ \ \ ,A' _{i}( x_{j})=0 \ \ \ \ \ \ (2)$$ میتوان $ B_{i} $ , $ A_{i} $ ها را بصورت زیر در نظر گرفت:(به کمک چند جمله ای های لاگرانژ)

$$ A_{i}( x )= \gamma _{i}(x) {L^{2}}_{i}(x) $$

$$ B_{i}( x)= \delta _{i}(x) {L^{2}}_{i}(x) $$ چون در جه ی $ {L^{2}}_{i}(x) $ برابر $2n$ است لذا $ \gamma _{i}(x) $ و $ \delta _{i}(x) $ در جه یک هستند فرض کنید که $ \gamma _{i}(x)= a_{i} x+ b_{i} $ و $ \delta _{i}(x)= c_{i} x+ d_{i} $

حال با توجه به شرایط و روابط $(1) ,(2) $ بسادگی میتوان دید که

$$a_{i}=-2 L' _{i}(x_{i}) \\b_{i}=1+2x_{i}L' _{i}(x_{i}) \\ c_{i}=1 \\ d_{i}=-x_{i}$$

حال با جایگذاری روابط اخیر در فرم اولیه قرار داده شده برای $ p(x) $ خواهیم داشت: $$ p(x)= \sum_{i=0}^n [1-2(x-x_{i}) L' _{i}(x_{i})]{L^{2}}_{i}(x) f( x_{i} ) + \sum_{i=0}^n (x-x_{i}) {L^{2}}_{i}(x)f' ( x_{i} ) $$

این رابطه را چند جمله ای درونیاب هرمیت مینامیم.

مثال:

enter image description here enter image description here

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...