به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
162 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط fatemeh20
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

تعریف توپولوژی نرم در یک فضای نرم دار حقیقی چیست؟

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط fatemeh20
 
بهترین پاسخ

زمانی که فضای برداری‌تان دارای نرم است، یک متریک می‌توانید به کمک آن نرم بسازید (این به به معنای آن نیست که تنهای یک متریک یکتا فضایتان می‌تواند داشته‌باشد بلکه به این معنا است که دست کم یک متریک وجود دارد که اکنون معرفی می‌کنیم). فرض کنید فضای برداری‌تان $V$ است و نرم‌تان را با $||.||$ نمایش دهید. با کمک سه ویژگی نرم ثابت کنید که تابع زیر دارای سه شرط متریک است. $$\left\{\begin{array}{rl}d:V\times V & \longrightarrow \mathbb{R}^{\geq 0}\\(u,v) & \longmapsto ||u-v||\end{array}\right.$$ به این متریک ویژه، متریک القا شده بوسیلهٔ نرم نخستین داده‌شده‌مان می‌گوئیم. اکنون می‌دانید که هر متریک یک توپولوژی می‌سازد که بازهای این توپولوژی گوی‌های باز $B(u,r):=\{v\in V|d(u,v)\leq r\}$ به ازای $r$ های حقیقی نامنفی و $u$های دلخواه در $V$ هستند. توجه کنید که ادعایی بر وجود تنها یک توپولوژی نداریم و مانند بخش پیشین می‌گوئیم هر گاه متریکی به ما بدهند دست‌کم یک توپولوژی وجود دارد از جمله همین توپولوژی‌ای که معرفی کردیم (با کمک سه شرط متریک، سه شرط توپولوژی را بررسی کنید). به این توپولوژی، توپولوژی القا شده بوسیلهٔ متریک‌مان می‌گوئیم. چون متریک‌مان نیز از یک نرم بوجود آمده‌بود، یک‌راست می‌توانیم این توپولوژی را القاشده از آن نرم نخستین صدا بزنیم. بنابراین توپولوژی القاشده از یک نرم یعنی توپولوژی القاشده از متریک القاشده بوسیلهٔ آن نرم.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...