چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
1,454 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط amirm20

سلام

سوالی داشتم در مورد مشتقپذیری :

تابع ای در نظز بگیرید . ما میگوییم که مقدار تابع $c \in D_f$ وجود داشته باشد. و مشتق چپ و راست وجود داشته باشد و برابر باشند . گوییم در آن نقطه مشتق پذیر است .

حالا مشتق در چند جا مشتق ناپذیر است :

اگر در نقطه ی $c$ ناپیوسته باشد .

مشتق راست یا چپ وجود داشته باشد ولی برابر نباشند .

مشتق راست یا چپ یکی متناهی و دیگری نامتناهی باشد .

مشتق راست و و چپ نا متناهی و هم علامت باشند .

مشتق راست و چپ نا متناهی و مختلف العلامت باشند .

مشتق راست یا چپ تعریف نشده باشد یکیشون یا هردو شون .

این تمام حالاتی بودکه مشتق در یک نقطه وجود نداشته باشد .

حالا اگر ی تابعی به ما دادن و مشتق پذیری آنرا در ی نقطه دادن از ما بخواهند .

ابتدا باید مقدا در آن نقطه را بدست بیاوریم . و سپس مشتق راست وچپ را محاسبه کنیم و ببینیم مشتق وجود دارد یا خیر .

ولی این خیلی راه طولانیه ایی هست . آیا راهی دیگری هم هست که بتوانیم مشتق پذیری در یک نقطه تشخیص بدهیم .؟

خیلی ممنون

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

در کل راه حل همان است که با استفاده از تعریف مشتق بررسی کنیم که آیا تابع مورد نظر در یک نقطه مشتق پذیر است یا خیر.

اما ممکن است در بعضی توابع در بعضی نقاط قضیه زیر به کار آید. (هرچند من مطمئن نیستم که این هم راه سریعتری باشد!)

قضیه: اگر $f:[a, b]\to \mathbb R$ روی $[a,b)$ پیوسته و روی $(a, b)$ مشتق پذیر باشد و $\lim_{x\to a^+}f'(x)$ موجود باشد در اینصورت $f$ در $a$ از راست مشتق پذیر است و داریم $f'_+(a)=\lim_{x\to a^+}f(x)$

  • حکم مشابهی برای مشتق چپ در نقطه ی $b$ داریم.

  • و اگر $f:(a, b)\to \mathbb R$ پیوسته و به ازای هر $x\neq c\in (a, b)$ مشتق پذیر باشد و $\lim_{x\to c}f'(x)$ موجود باشد در اینصورت $f$ در $c$ مشتقپذیر است و $f'(c)=\lim_{x\to c}f'(x)$ .

به عنوان مثال برای بررسی مشتق پذیری $f(x)=|x|$ در $x=0$ اولا این تابع روی $[0,1]$ پیوسته و در $(0,1]$ مشتقپذیر است چون روی این بازه برابر است با $f(x)=x$ و به علاوه $\lim_{x\to 0^+}f'(x)=\lim_{x\to 0^+}1=1$ بنابر این از راست مشتقپذیر است و $f'_+(0)=1$ .

و به طور مشابه می توان نشان داد $f'_-(0)=-1$ .

به همین ترتیب می توانید از این قضیه مشتق پذیری را برای توابعی مثل $f(x)=|x+1|-4|x-3|$ در $x=-1$یا $x=3$ بررسی کنید. یا مشتق پذیری $f(x)=x\lfloor x+1\rfloor$ در $x=0$ را بررسی کنید.

دارای دیدگاه توسط fardina
به نظر میرسه منظور ایشان همان قضیه ای است که در پاسخ به آن اشاره کردم.
دارای دیدگاه توسط amirm20
@fardina
پس الان اگر بخواهیم بفهمییمدر یک نقطه مشتق پذیر است یا خیر .
از تابع مشتق گرفته
و پیوستگی تابع مشتق در نقطه مورد نظر رو برزسی میکنیم اگر پیوسته بود مشتق پذیر است ..اگر نبود مشتق پذیر نیست .
آیا درسته این راه ؟
دارای دیدگاه توسط fardina
خیر من چنین چیزی نگفتم.
صورت قضیه رو اگر مطالعه کنید فکر کنم درکش سخت نباشه. ما میخوایم ببینیم یک تابع آیا در نقطه $x_0$ مشتقپذیر است یا خیر. برای این منظور مشاهده میکنیم که تابع در یک همسایگی راست این نقطه مثل $[x_0,x_0+r)$ پیوسته است و در همسایگی راست آن مثل $(x_0,x_0+r)$ مشتقپذیر است و حد تابع مشتق در $x_0$ موجود است یعنی $\lim_{x\to x_0^+} f'(x)$ موجود است ور اینصورت حتما مشتق راست این تابع در $x_0$ موجود است(و صورت مشابهی برای مشتق از چپ داریم). این حرف به معنای پیوستگی تابع مشتق در این نقطه نیست. بلکه قضیه می گوید حد تابع مشتق موجود باشد.
دارای دیدگاه توسط akram1
سلام دوست گرامی
 میشه لطفا بفرمایید این قضیه رو از چه کتاب یا منبع موثقی پیدا کردید؟ من خیلی گشتم نتوانستم این قضیه و اثبات آن را بیابم؟
با تشکر
دارای دیدگاه توسط fardina
@akram1
سلام. این قضیه معروف هست و فکر کنم در اکثر کتاب های آنالیز ریاضی موجود هست.
اگر خواستید یک سوال مشابه ایجاد کنید و اثبات رو بخواید که من یا کاربران دیگه اثبات رو براتون بنویسیم.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
59 نفر آنلاین
0 عضو و 59 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 430
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709572
...