به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
85 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط Leila
ویرایش شده توسط AmirHosein

برای دو ایده ال حلقه $R$ چون $I$ و $J$ نشان دهید:$$ M_n(IJ) = M_n(I ) M_n(J) $$

دارای دیدگاه توسط Leila
+1
یک طرفه این رابطه بدیهی است ولی طرف چپ برای حالت n=1 بدیهی وبرای حالت n=2 هم با عضو گیری میتوان نشان داد بنابراین ظاهرا عکس شمول به استقرا حل میشود
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@Leila اگر برای حالت $n=2$ را انجام داده‌اید، شاید بد نباشد قرارش دهید اینجا چون ممکن است همان راه‌حل بدون نیاز به استقراء نیز برای $n$ کلی برقرار باشد.

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein

اثبات زیرمجموعه‌بودن سمت راست در چپ آشکار است. به فرض $A=[a_{ij}]$ عضو $M_n(I)$ باشد پس $a_{ij}$ها عضو $I$ هستند. به همین ترتیب $B=[b_{ij}]$ را از $M_n(J)$ بردارید پس $b_{ij}$ها عضو $J$ هستند. حاصلضرب این دو ماتریس $AB$ برابر می‌شود با ماتریس $[c_{ij}]$ که برای هر $i$ و $j$ داریم $c_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$ اما حاصل این ترکیب‌ها در $IJ$ قرار می‌گیرند پس تمامی $c_{ij}$ ها در $IJ$ قرار دارند که یعنی $AB$ عضو $M_n(IJ)$ است.

اکنون توجه کنید که یک عضو از $M_n(I)M_n(J)$ به شکل $A_1B_1+\cdots+A_kB_k$ است که $k$ عددی طبیعی و برای هر $\ell$ بین یک و $k$ داریم $A_\ell\in M_n(I)$ و $B_\ell\in M_n(J)$، با توجه به بحث بالا تمام $A_\ell B_\ell$ها عضو $M_n(IJ)$ هستند. توجه کنید که اگر درایه‌های ماتریس حاصل از این جمع متناهی برابر جمع متناهی درایه‌های نظیر به نظیر تک تک حاصلضرب‌ها است و این درایه‌ها همه عضو ایده‌آل $IJ$ هستند و یک ایده‌آل نسبت به جمع متناهی اعضایش بسته است پس درایه‌های ماتریس حاصل همگی در $IJ$ هستند و این یعنی خود این ماتریس در $M_n(IJ)$ است.

پس ثابت شد که $M_n(I)M_n(J)\subseteq M_n(IJ)$

می‌رویم سراغ اثبات سمت دیگر زیرمجموعه‌بودن.

به یاد آورید که یک ماتریس را می‌توان جمع یک تعداد ماتریس اولیه به این معنا که تنها یک درایهٔ این ماتریس‌ها ناصفر است، نوشت. برای نمونه اگر $A$ ماتریس $m\times n$ با درایه‌های $a_{ij}$ است، می‌توان نوشت $A=\sum_{i,j}a_{ij}E_{ij}$ که ماتریس $E_{ij}$ تنها درایهٔ $i$ و $J$اُم آن یک و سایر درایه‌هایش صفر هستند.

نکتهٔ مثبت این است که صفر عضو هر زیرحلقه‌ای و در نتیجه عضوی از هر ایده‌آل است پس هر دوی $I$ و $J$ و در نتیجه $IJ$ نیز، صفر حلقه‌مان را دارند.

یک عضو از $M_n(IJ)$ مانند $A$ به شکل $[a_{ij}]$ است که برای هر $i$ و $j$ یک عدد طبیعی $n_{i,j}$ و $n_{i,j}$تا عنصر $x_{i,j,k}$ از $I$ و $n_{i,j}$تا عنصر $y_{i,j,k}$ از $J$ وجود دارند که $a_{ij}=\sum_{k=1}^{n_{i,j}}x_{i,j,k}y_{i,j,k}$ پس می‌توانیم $A$ را به شکل زیر بنویسیم. $$A=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^{n_{i,j}}x_{i,j,k}y_{i,j,k}E_{ij}$$ از طرفی توجه داشته‌باشید که برای هر عدد دلخواه $\ell$ بین یک و $n$ می‌توانید ماتریس $E_{ij}$ را به شکل $E_{i\ell}E_{\ell j}$ تجزیه کنید. و به دنبال آن داریم $xyE_{ij}=(xE_{i\ell})(yE_{\ell j})$. پس رابطهٔ آخری که نوشته‌بودیم به شکل زیر ساده می‌شود. $$A=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^{n_{i,j}}(x_{i,j,k}E_{i\ell})(y_{i,j,k}E_{\ell j})$$ توجه کنید که $x_{i,j,k}E_{i\ell}$ ها عضو $M_n(I)$ و $y_{i,j,k}E_{\ell j}$ها عضو $M_n(J)$ هستند. پس چون $A$ که یک عنصر دلخواه از $M_n(IJ)$ بود را توانستیم به شکل جمع متناهی (در واقع $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n n_{i,j}$) از حاصلضرب عنصرهای $M_n(I)$ در عنصرهای $M_n(J)$ بنویسیم پس: $$M_n(IJ)\subseteq M_n(I)M_n(J)$$

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Leila

توضیح :همین کار را برای یک ماتریس n*n به راحتی میشود نشان داد

enter image description here

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...