چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
635 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط erfanm
ویرایش شده توسط fardina

تمام توابع درجه دو بصورت $ f(x)=a x^{2} +bx+c $ را مشخص کنید که اگر $ \alpha $ و $ \beta $ ریشه های آنها باشند آنگاه $a, \alpha ,b , \beta ,c $ تشکیل دنباله ی حسابی بدهند.

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط zh
ویرایش شده توسط erfanm
 
بهترین پاسخ

چون $a, \alpha, b, \beta, c $ تشکیل دنباله حسابی می دهند لذا داریم:

$$ \alpha=a+d, b=a+2d, \beta=a+3d, c=a+4d$$

با جایگذاری روابط فوق در معادله $ a x^{2} +bx+c=0 $ داریم:

$$ a(a+d)^{2}+(a+2d)(a+d)+a+4d=0$$ $$a(a+3d)^{2}+(a+2d)(a+3d)+a+4d=0 $$

لذا

$$(a+d)( a^{2}+ad+a+2d)=(a+3d)( a^{2}+3ad+a+2d) $$ $$ \Longrightarrow $$ $$ 2 a^{2}d+4a d^{2}+ad+2 d^{2} =0 $$

بنابراین

$$ad(2a+1)+2d^{2}(2a+1)=0 $$ $$ \Longrightarrow $$ $$a=-1/2 \vee d=0 \vee a=-2d $$

در حالتی که $ d=0 $ در این صورت دنیاله به صورت $ a, a, a, a, a $ است اما در این صورت معادله

$$ax^{2}+ax+a=0 $$

فاقد جواب است.

حالت دوم:چنانچه $ a=-2d$ در این صورت دنباله به صورت $ a, a/2, 0, -a/2, -a$ است که در این حالت معادله بفرم زیر خواهد بود:

$$ax^{2}-a=0 $$

که جواب های معاده برابر با $ x=-1, x=1 $ است. لذا

$$ \begin{cases}a+d=-1\\a+3d=1 \Rightarrow d=1, a=-2\end{cases} \qquad (**) $$

از این رو معادله به صورت $$ f(x)=-2x^{2}+2$$

می باشد.

اگر جای ریشه در معادله $ (**)$ عوض شود انگاه $ a=2, d=-1 $ و در نتیجه معادله بفرم زیر است:

$$ f(x)=2x^{2}-2 $$

حالت سوم: اگر $ a=-1/2 $باشد. در این حالت با توجه به رابطه ی

$$\alpha \times \beta= \frac{c}{a} $$

داریم:

$$( \frac{-1}{2}+d )( \frac{-1}{2}+3d )= \frac{ \frac{-1}{2}+4d }{ \frac{-1}{2} } $$

که با جایگذاری $ a=-1/2, b=-1/2+2d, c=-1/2+4d$ بدست می اید:

$$d= \frac{ \sqrt{5} }{2}-1 \qquad \qquad d= \frac{ \sqrt{5} }{2}+1 $$

لذا معادله بفرم

$$f(x)= \frac{-1}{2} x^{2}+(- \frac{5}{2}+ \sqrt{5} ) x- \frac{9}{2}+2 \sqrt{5} $$

یا

$$f(x)= \frac{-1}{2} x^{2}+(- \frac{5}{2}- \sqrt{5} ) x- \frac{9}{2}-2 \sqrt{5} $$

است.

خواهد بود.

دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@zh
@erfanm
در حالت دوم که جواب $f(x)=7x^2-x-9$شده و $a=7,d=-4$ لذا $\alpha=3$ در حالیکه $\alpha$ در معادله صدق نمیکنه!
فکر کنم حالت دوم مشکل داره نه؟
دارای دیدگاه توسط erfanm
+1
اشتباه نوشتاری بود چون ریشه ها $1$و$-1$ بودند ولی $-1$ و$3$ جایگذاری شده بودند الان اصلاح شد..
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@zh
در حالت اول که $d=0$ معادله به صورت $ax^2+ax+a=0$ در بیاد چرا معادله جواب ندارد؟ اگر $a=0$ باشد آنگاه جواب تمام اعداد حقیقی می شود!
دارای دیدگاه توسط dr
+3
نمیتونه برابر صفر باشه چون اون موقع تابع درجه 2تشکیل نمیده
دارای دیدگاه توسط zh
+1
@fa:دیر متوجه کامنتتون شدم. دلیل dr صحیحه.
از حٌسن دقت آقای منوچهری هم ممنونم.
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط dr
ویرایش شده توسط dr

می توان اینگونه نیز عمل کرد. چون$$a, \alpha ,b, \beta ,c$$تشکیل دنباله ی حسابی میدهند پس داریم$$ \frac{ \alpha + \beta }{2}=b $$از طرفی چون$ \alpha و \beta $ ریشه های تابع $f(x)$ است پس داریم $$ \alpha + \beta =- \frac{b}{a} $$حال از دو رابطه ی فوق $$2b=- \frac{b}{a} $$یعنی یا $a=- \frac{1}{2} $ یا $b= 0$.

اگر $a=- \frac{1}{2} $ آنگاه از رابطه ی بین ریشه ها و ضرایب یعنی $ \alpha \beta = \frac{c}{a} $استفاده می کنیم بدین گونه که با جایگذاری تساویهای زیر $$ \alpha = a + d$$ $$ \beta =a+3d$$ $$c=a+4d$$ $$a=- \frac{1}{2} $$ و انجام محاسبات و ساده کردن به معادله ی درجه ی دوم$$4d^{2}+8d-1=0$$ میرسیم که از این نیز $d=-1 \pm \frac{ \sqrt[]{5} }{2} $حاصل میشود

اگر $d=-1+ \frac{ \sqrt[]{5} }{2} $بنابراین دنباله ی $a, \alpha ,b, \beta ,c$ برابر $$- \frac{1}{2} ,- \frac{3}{2} + \frac{ \sqrt[]{5} }{2},- \frac{5}{2} + \sqrt[]{5} ,- \frac{7}{2} +3 \frac{ \sqrt[]{5} }{2},- \frac{9}{2} +4 \frac{ \sqrt[]{5} }{2} $$ است و خواهیم داشت$$f(x)=- \frac{1}{2} x^{2} +(- \frac{5}{2} + \sqrt[]{5} )x - \frac{9}{2} + 4\frac{ \sqrt[]{5} }{2} $$ و اگر $d=-1- \frac{ \sqrt[]{5} }{2}$با مراحلی شبیه فوق به تابع زیر میرسیم $$f(x)=- \frac{1}{2} x^{2} +(- \frac{5}{2} - \sqrt[]{5} )x - \frac{9}{2} - 4\frac{ \sqrt[]{5} }{2} .$$ حال بررسی حالت$b=0$ در اینصورت باز هم با توجه به واسطه ی حسابی بودن$b$داریم $$ \frac{a+c}{2} =b= \frac{ \alpha + \beta }{2} $$که از این نیز چون$b=0$خواهیم داشت$$a=-c , \alpha =- \beta $$ حال با جایگذاری تساوی فوق در رابطه ی$ \alpha \beta = \frac{c}{a} $خواهیم داشت$$- \alpha ^{2} =-1$$ $$ \Longrightarrow \alpha = \pm 1$$اگر$ \alpha =-1$ چون$ \alpha =- \beta$پس$ \beta =1$.حال از رابطه$2d= \beta - \alpha $خواهیم داشت$ d=1$ که در اینصورت دنباله ی $a, \alpha ,b, \beta ,c$برابر$-2,-1,0,1,2 $میشود و خواهیم داشت$f(x)=-2 x^{2} +2$

و اگر $ \alpha =1$ آنگاه با روشی مشابه داریم $ d=-1$ و به تابع $ f(x)=2 x^{2} -2$ خواهیم رسید.

دارای دیدگاه توسط zh
+1
روشتون درسته ولی این تمام این دسته از معادلات رو که باید دارای چنین شرطی باشه رو تعیین نمیکنه.
دارای دیدگاه توسط dr
+1
میشه بگید کدوم قسمت جواب رو اشتباه نوشتم که جوابام با بهترین پاسخ یکی نشد؟
دارای دیدگاه توسط erfanm
$4$ جواب داریم که هر چهارتا رو بدست آوردید. روشتون درسته.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
67 نفر آنلاین
0 عضو و 67 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4395
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4699435
...