به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
117 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط رها
ویرایش شده توسط fardina

$$x(x^2-1) y'+x^2-(x^2-1)y-y^2=0 \quad , \quad \Phi (x)=x^2 $$

2 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

نمی‌دانم چرا پاسخ خاص‌تان را $x^2$ گرفته‌اید. البته که در برابری‌دیفرانسیل‌تان (معادله‌دیفرانسیل‌تان) صدق می‌کند ولی چیزی نیست که تنها با یک نگاه به ضابطه به ذهن‌تان برسد. اگر بخواهیم تنها با نگاه به ضابطه یک پاسخ خاص معرفی کنیم، $x$ را داریم. دلیل این است که بدون اینکه به داخل پرانتز‌ها یعنی $(x^2-1)$ توجه کنیم، یک عدد $x^2$ داریم یک عدد $y^2$، یک عدد $x(\ldots)$ داریم یک عدد $x(\ldots)y'$. بعلاوه دو به دو ناهمعلامت هستند پس چه چیزی به جای $y$ بگذاریم که با هم خط زده‌شوند؟ $x$. بدون هیچ محاسبه‌ای تنها با یک نگاه این پاسخ خاص جدید را داریم. من با این پاسخ خاص پیش می‌روم.

چون یک مشتق مرتبهٔ یک و یک متغیره دارم، انتظارم این است که بتوانم پاسخ برابری‌دیفرانسیل را با یک ثابت ارائه کنم. نخست $y(x)=x+c$ را آزمودم. ولی چیز مفیدی به من نداد. گام پسین $y(x)=c(x)x$ را آزمودم. محاسبات به شکل زیر هستند (به یاد آورید که مشتق $arc\tanh(x)$ برابر بود با $\frac{1}{1-x^2}$). $$\begin{array}{l} x(x^2-1)(xc(x))’+x^2-(x^2-1)xc(x)-(xc(x))^2=0\\ x(x^2-1)xc’(x)+x(x^2-1)x(x)+x^2-x(x^2-1)c(x)-x^2c(x)^2=0\\ x^2((x^2-1)c’(x)-c(x)^2+1)=0\\ (x^2-1)c’(x)-c(x)^2+1=0\\ c’(x)=\frac{c(x)^2-1}{x^2-1}\\ \frac{dc(x)}{c(x)^2-1}=\frac{dx}{x^2-1}\\ -arc\tanh(-c(x))=-arc\tanh(-x)+c\\ -c(x)=\tanh(arc\tanh(-x)+c)\\ c(x)=-\tanh(arc\tanh(-x)+c) \end{array}$$ پس پاسخ نهایی برابر است با $$y(x)=-xtanh(arctanh(-x)+c)$$ اگر قرار دهید $c=0$ آنگاه به $y(x)=x^2$ نیز می‌رسید.

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط majidgh69

با سلام معادله فوق معادله ریکاتی بوده لذا برای حل آن باید از تغیر متغیر زیر استفاده کنیم. $ y=x^2 +(1/z) $ با جایگذاری رابطه فوق در معادله داریم: $x(1-x^2)z' +z (1-3x^2)=1 $ حل رابطه فوق هم که ساده بوده و برابر است با: $z=(1/(x(1-x^2)))(x+c)$ با جایگذاری رابطه فوق در رابطه اول (یعنی تغییر متغیر مفروض $ y=x^2 +(1/z) $ ) جواب بدست می آید.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...