چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
73 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط mohammad.gh

فرض کنیم $k$ یک میدان دلخواه و $A$ یک $k$-جبر باشد. نگاشت $i:Hom(A,k) \rightarrow spec A$ را با ضابطه $\varphi \rightarrow ker( \varphi )$ در نظر بگیرید. چون $k$ یک میدان است، بنابراین $ker( \varphi )$ یک ایده‌آل اول است و بوضوح این نگاشت خوش تعریف است. نشان دهید نگاشت $i$ یک به یک است؟

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

یک $k$ -جبر را همیشه می‌توان به شکل خارج قسمت یک حلقهٔ چندجمله‌ای‌ها نوشت. در واقع اگر $K$ یک $k$ -جبر با یک مولد متناهی، برای نمونه $n$ عضوی باشد آنگاه $K$ یکریخت $k$ -جبری است با $\dfrac{k[x_1,\cdots,x_n]}{I}$ به ازای یک $I$ . اگر هم نامتناهی باشد آنگاه باید در نمادگذاری مراقب باشید برای نمونه فرض کنید یک مولد برای آن $A$ ، یک مجموعه با عدد اصلی دلخواه باشد آنگاه $K\cong\dfrac{k[x_a|a\in A]}{I}$ . تصویر یک $k$ -همریختی جبری همواره با مشخص کردن اثرش روی عناصر یک مولد آن که متعالی باشد به شکل یکتا مشخص می‌شود. پس کافیست بدانیم اثر $\phi$ روی $x_i$ ها چه می‌شود. هستهٔ یک $k$ -همریختی جبری از $\dfrac{k[x_i|i]}{I}$ به $k$ برابر می‌شود با ایده‌آل $\dfrac{\langle x_i-\phi(x_i)|i\rangle}{I}$ که دقیقا چون بوسیلهٔ عامل‌های $x_i-\phi(x_i)$ تعریف می‌شود از روی خود همریختی به طور یکتا معین می‌شود یعنی دو $k$ -همریختی جبری از یک $k$ -جبر به میدان زمینه‌اش یعنی $k$ هرگز هستهٔ یکسان نخواهند داشت. این هسته‌ها ایده‌آل بیشینه و در نتیجه ایده‌آل اول نیز هستند پس عضو $Spec(K)$ می‌شوند. در نتیجه تایعی که در پرسش تعریف کرده‌اید خوش‌تعریف و یک به یک است.

اما اگر در حال فکر کردن به این هستید که بیایید $Spec(K)$ را با این مجموعه یکی بگیرید درست نیست چون تابعتان پوشا نمی‌شود. حتی اگر به جای $Spec(K)$ به $\mathcal{m}-spec(K)$ مجموعهٔ ایده‌آل‌های بیشینهٔ $K$ هم‌دامنه را کاهش دهید نیز پوشا نخواهد شد مگر اینکه میدان زمینه بستهٔ جبری باشد.

دارای دیدگاه توسط mohammad.gh
ویرایش شده توسط mohammad.gh
چرا هسته‌ی یک $k$ همریختی جبری از$ \dfrac{k[x_i|i]}{I}$به $k$ ایده‌آل  
$\dfrac{\langle x_i-\phi(x_i)|i\rangle}{I}$ می‌شود؟
آیا می‌توان برای هر $k$همریختی جبری مانند      $ \varphi:A\rightarrow B$  هسته‌ی آن را مانند بالا نوشت؟
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
ابتدا باید نمایش خارج قمستی $A$ از یک حلقهٔ چندجمله‌ای با تعداد متغیر برابر با درجهٔ تعالی $A$ را بدست آورید (که در پاسخ اشاره شده‌است)، سپس تعریف هسته را بنویسید.

اگر نمی‌دانید چرا یک $k$-جبر دارای چنین نمایشی است، می‌توانید در قالب یک پرسش جدا بپرسید.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
91 نفر آنلاین
0 عضو و 91 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3646
بازدید دیروز: 8256
بازدید کل: 4498769
...