چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
61 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

اگر برای تابع مشتقپذیر $f:\mathbb R\to \mathbb R$ داشته باشیم $\lim_{x\to \infty}f(x)+f'(x)=l\in\mathbb R$ ثابت کنید $\lim_{x\to \infty}f(x)=l$ و $\lim_{x\to \infty}f'(x)=0$ .

1 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
$$\lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)e^x}{e^x}$$

در اینجا داریم $\lim_{x\to \infty}e^x=\infty$ و $(e^x)'=e^x\neq 0$ برای هر $x$ و

$$\lim_{x\to \infty}\frac{(f(x)e^x)'}{(e^x)'}=\lim_{x\to \infty}\frac{f'(x)e^x+f(x)e^x}{e^x}=\lim_{x\to \infty}f(x)+f'(x)$$

که طبق فرض موجود است. پس می توانیم از قاعده هوپیتال استفاده کنیم(در واقع در قاعده هوپیتال می بایست حد صورت و مخرج هر دو صفر شود یا هردو بی نهایت شود ولی می توان نشان داد که اگر فقط حد مخرج بی نهایت شود باز هم می توان از قاعده هوپیتال استفاده کرد. به عنوان مثال به اثبات قضیه هوپیتال در ویکی پدیای انگلیسی نگاه کنید.)

از هوپیتال داریم

$$\lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)e^x}{e^x}=\lim_{x\to \infty}\frac{(f(x)e^x)'}{(e^x)'}=l$$

و لذا باید $\lim_{\to\infty}f'(x)=0$ .

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
71 نفر آنلاین
1 عضو و 70 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3588
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4698628
...