به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
113 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

در مرحلهٔ دوم سی‌ودومین دورهٔ المپیاد ریاضی، ۱۳۹۳، پرسش زیر آمده‌است.

مربع $ABCD$ مفروض است. دو نقطهٔ $N$ و $P$، به ترتیب، روی ضلع‌های $AB$ و $AD$ به شکلی انتخاب شده‌اند که $PN=NC$ و نقطهٔ $Q$ روی پاره‌خط $AN$ طوری انتخاب شده که $\widehat{NCB}=\widehat{QPN}$. ثابت کنید: $$\widehat{BCQ}=\dfrac{1}{2}\widehat{PQA}$$

لطفا راهنمایی‌ام نمائید.

دارای دیدگاه توسط
–1
@AmirHosein
سلام .
حرف شما صحیح و منطقی است . اما چرا لغمه را دور سر بچرخانیم و در دهان بگذاریم ؟!
در ضمن ممکن است در هنگام تایپ اختلاط هایی پیش آید و منظور پرسش را عوض کند.
خیلی ممنون که توجه دارید.
دارای دیدگاه توسط
–1
خیلی ممنونم.
چشم سعی میکنم همیشه تایپ کنم.
دارای دیدگاه توسط
+1
حداقل عکسی که میخواید بزارید از قسمت نوار بالایی ویرایشگر استفاده کنید که عکس رو بزرگ قرار میده.
آپلود فایل بیشتر برای فایلهای پی دی اف و وورد و غیره هست.
البته چنین سوال هایی رو اگر تایپ کنید بهتره چون آپلود عکس و فایل و ...(در مواقع غیر ضروری) حجم سایت رو بالا میبره و هزینه ها رو هم بالا میبره!
دارای دیدگاه توسط
–1
سخن همتون صحیح. البته من عکس رو از نوار بزرگ گذاشته بودم اگه دقت می کردید.

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

enter image description here

توجه کنید که شرایط گفته‌شده شکل یکتایی را ایجاد نمی‌کنند. شما می‌توانید زاویهٔ $\alpha$ را آزادانه بین صفر تا ۴۵ درجه انتخاب کنید و پس از انتخاب آن، آنگاه شکل یکتا می‌شود. پس حکم پرسش برای تمام حالت‌های $0\leq\alpha\leq\frac{\pi}{4}$ باید ثابت شود. توجه کنید که یک آزادی دیگر و آن در انتخاب اندازهٔ یال مربع داریم ولی همان‌گونه که در ادامه می‌بینید تغییر در مقدار آن تأثیری نخواهد داشت زیرا که در محاسبات حذف می‌شود. در زیر تمام محاسبات سرراست هستند و از رابطه‌های سه‌گوشی (مثلثاتی) دوم دبیرستان استفاده شده‌ است. $$\begin{array}{l} \tan\alpha=\frac{y_1}{a}\Longrightarrow y_1=a\tan\alpha\\ \cos\alpha=\frac{a}{\ell}\Longrightarrow \ell=a\sec\alpha\\ \overline{AP}=a-y_1\\ \gamma=arc\cos\frac{a-y_1}{\ell}=\frac{a-a\tan\alpha}{a\sec\alpha}=\\ arc\cos\dfrac{1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{1}{\cos\alpha}}=arc\cos(\cos\alpha-\sin\alpha)\\ x=\ell\sin\gamma=a\sec\alpha\sin(arc\cos(cos\alpha-\sin\alpha))\\ \theta=\pi-(\pi-(\alpha+\gamma))=\alpha+\gamma\\ \frac{x}{y_2}=\tan\theta\Longrightarrow y_2=x\cot\theta=\\ a\sec\alpha\sin\gamma\frac{\cos(\alpha+\gamma)}{\sin(\alpha+\gamma)}\\ \tan\beta=\dfrac{a-a\frac{\sin\gamma}{\cos\alpha}\frac{\cos(\alpha+\gamma)}{\sin(\alpha+\gamma)}}{a}=\\ \frac{\cos\alpha\sin(\alpha+\gamma)-\sin\gamma\cos(\alpha+\gamma)}{\cos\alpha\sin(\alpha+\gamma)}\\ \tan\theta=\tan(\alpha+\gamma)=\frac{\sin(\alpha+\gamma)}{\cos(\alpha+\gamma)} \end{array}$$

اکنون با کمک رابطه‌های زیر $$\begin{array}{l} \cos(arc\cos(\cos\alpha-\sin\alpha))=\cos\alpha-\sin\alpha\\ \sin\gamma=\sqrt{1-\cos^2\gamma}\\ \tan 2\beta=\frac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta} \end{array}$$

تابع زیر را به یک تابع یک متغیره با حضور فقط $\sin\alpha$ و $\cos\alpha$ تبدیل می‌کنیم. $$f(\alpha)=\tan\theta-tan 2\beta$$

با رسم عددی این تابع (که در زیر با نرم‌افزار Maple انجام دادیم) می‌بینیم که این تابع در بازهٔ خواسته‌شده صفر است (در نرم‌افزار Maple قدرمطلق حاصل عددی -تقریب- کوچکتر از $10^{-8}$ شده‌است که زمانی‌که نمایش اعشاری را تا ۹ رقم اعشار گرفته‌است به نوعی صفر را می‌رساند.

enter image description here

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...