چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
109 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط (Mahdi( Help^AnAr
ویرایش شده توسط AmirHosein

در مرحلهٔ دوم سی‌ودومین دورهٔ المپیاد ریاضی، ۱۳۹۳، پرسش زیر آمده‌است.

مربع $ABCD$ مفروض است. دو نقطهٔ $N$ و $P$، به ترتیب، روی ضلع‌های $AB$ و $AD$ به شکلی انتخاب شده‌اند که $PN=NC$ و نقطهٔ $Q$ روی پاره‌خط $AN$ طوری انتخاب شده که $\widehat{NCB}=\widehat{QPN}$. ثابت کنید: $$\widehat{BCQ}=\dfrac{1}{2}\widehat{PQA}$$

لطفا راهنمایی‌ام نمائید.

دارای دیدگاه توسط (Mahdi( Help^AnAr
–1
@AmirHosein
سلام .
حرف شما صحیح و منطقی است . اما چرا لغمه را دور سر بچرخانیم و در دهان بگذاریم ؟!
در ضمن ممکن است در هنگام تایپ اختلاط هایی پیش آید و منظور پرسش را عوض کند.
خیلی ممنون که توجه دارید.
دارای دیدگاه توسط (Mahdi( Help^AnAr
–1
خیلی ممنونم.
چشم سعی میکنم همیشه تایپ کنم.
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
حداقل عکسی که میخواید بزارید از قسمت نوار بالایی ویرایشگر استفاده کنید که عکس رو بزرگ قرار میده.
آپلود فایل بیشتر برای فایلهای پی دی اف و وورد و غیره هست.
البته چنین سوال هایی رو اگر تایپ کنید بهتره چون آپلود عکس و فایل و ...(در مواقع غیر ضروری) حجم سایت رو بالا میبره و هزینه ها رو هم بالا میبره!
دارای دیدگاه توسط (Mahdi( Help^AnAr
–1
سخن همتون صحیح. البته من عکس رو از نوار بزرگ گذاشته بودم اگه دقت می کردید.

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein

enter image description here

توجه کنید که شرایط گفته‌شده شکل یکتایی را ایجاد نمی‌کنند. شما می‌توانید زاویهٔ $\alpha$ را آزادانه بین صفر تا ۴۵ درجه انتخاب کنید و پس از انتخاب آن، آنگاه شکل یکتا می‌شود. پس حکم پرسش برای تمام حالت‌های $0\leq\alpha\leq\frac{\pi}{4}$ باید ثابت شود. توجه کنید که یک آزادی دیگر و آن در انتخاب اندازهٔ یال مربع داریم ولی همان‌گونه که در ادامه می‌بینید تغییر در مقدار آن تأثیری نخواهد داشت زیرا که در محاسبات حذف می‌شود. در زیر تمام محاسبات سرراست هستند و از رابطه‌های سه‌گوشی (مثلثاتی) دوم دبیرستان استفاده شده‌ است. $$\begin{array}{l} \tan\alpha=\frac{y_1}{a}\Longrightarrow y_1=a\tan\alpha\\ \cos\alpha=\frac{a}{\ell}\Longrightarrow \ell=a\sec\alpha\\ \overline{AP}=a-y_1\\ \gamma=arc\cos\frac{a-y_1}{\ell}=\frac{a-a\tan\alpha}{a\sec\alpha}=\\ arc\cos\dfrac{1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{1}{\cos\alpha}}=arc\cos(\cos\alpha-\sin\alpha)\\ x=\ell\sin\gamma=a\sec\alpha\sin(arc\cos(cos\alpha-\sin\alpha))\\ \theta=\pi-(\pi-(\alpha+\gamma))=\alpha+\gamma\\ \frac{x}{y_2}=\tan\theta\Longrightarrow y_2=x\cot\theta=\\ a\sec\alpha\sin\gamma\frac{\cos(\alpha+\gamma)}{\sin(\alpha+\gamma)}\\ \tan\beta=\dfrac{a-a\frac{\sin\gamma}{\cos\alpha}\frac{\cos(\alpha+\gamma)}{\sin(\alpha+\gamma)}}{a}=\\ \frac{\cos\alpha\sin(\alpha+\gamma)-\sin\gamma\cos(\alpha+\gamma)}{\cos\alpha\sin(\alpha+\gamma)}\\ \tan\theta=\tan(\alpha+\gamma)=\frac{\sin(\alpha+\gamma)}{\cos(\alpha+\gamma)} \end{array}$$

اکنون با کمک رابطه‌های زیر $$\begin{array}{l} \cos(arc\cos(\cos\alpha-\sin\alpha))=\cos\alpha-\sin\alpha\\ \sin\gamma=\sqrt{1-\cos^2\gamma}\\ \tan 2\beta=\frac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta} \end{array}$$

تابع زیر را به یک تابع یک متغیره با حضور فقط $\sin\alpha$ و $\cos\alpha$ تبدیل می‌کنیم. $$f(\alpha)=\tan\theta-tan 2\beta$$

با رسم عددی این تابع (که در زیر با نرم‌افزار Maple انجام دادیم) می‌بینیم که این تابع در بازهٔ خواسته‌شده صفر است (در نرم‌افزار Maple قدرمطلق حاصل عددی -تقریب- کوچکتر از $10^{-8}$ شده‌است که زمانی‌که نمایش اعشاری را تا ۹ رقم اعشار گرفته‌است به نوعی صفر را می‌رساند.

enter image description here

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
58 نفر آنلاین
0 عضو و 58 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1828
بازدید دیروز: 7287
بازدید کل: 4704155
...